Eksponentielle sammenhænge

14.4. Potenser , hvor
Som eksempel vælger vi (
er uforkortelig brøk med hele positive tal i tæller og nævner.
)
Man definerer dette tal således: ( ) ( √ )
Baggrunden for denne definition er, at de såkaldte ”potensregneregler” derved er opfyldt (så længe x er et
positivt tal). Dette er dog et langsommeligt arbejde at bevise.
(Potensregnereglerne: se side 10 af folkeskole-formelsamling vedlagt her som sidste side)
Som specialtilfælde har vi brøker med tæller 1, f.eks.
( ) √
14
som eksponent. Der gælder
og (se ”3. Rødder” ovenfor): Når t er et postitivt tal, og q≠0 gælder (som anført under 11. Potensligninger
side 5 ) at ligningen
Hvordan har man fundet på at definere (
har løsningen √
) ( √
) ?
Potensregnereglen ( ) er let nok at forstå i et taleksempel med hele tal som eksponenter:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Hvis reglen også skal gælde for tal som 0.01 og 0.13 som eksponenter, så må der gælde om tallet
at ( ) , altså hvoraf
(se afsnit 3 Rødder på forrige side)
√ . Herved ses at er nødt til at være lig √
Med samme begrundelse kan vi fortsætte:
( ) ( √
)
(
)
hvis potensreglerne skal passe.