Eksponentielle sammenhænge

”Hvis væksten havde været eksponentiel, hvad skulle den konstante vækstrate så være for at komme
fra samme udgangsposition til samme slutposition på samme tid?”
Øvelse
I år 2006 kostede en bestemt vare 200 kr, og i 2008 var prisen 242 kr.
Hvad var den gennemsnitlige årlige vækstrate?
x = 2 (år)
y = 242 (kr). (slutværdi ifølge faktiske oplysninger)
b = 200 (kr.) (udgangsposition)
a = ukendt (gennemsnitlig fremskrivningsfaktor)
p = ? (procenttal for gennemsnitlig vækstrate, beregnes ud fra a)
(Svaret er : Den gennemsnitlige vækstrate var 10% ; vis mellemregningerne!)
6. Vækst over forskellige perioder - uddybning
Sætning:
Når x stiger med 1, bliver y ganget med a
Når x stiger med 2, bliver y ganget med a∙a = a 2
Når x stiger med 3, bliver y ganget med a∙a∙a = a 3
. . .
Når x stiger med h, bliver y ganget med a h
Begrundelse:
Antag at y har nået værdien y1.
Se ”Eksponenitiel begrundelse 3a” ovenfor
Når x herefter stiger med 1 ( der går 1 år), og herefter med endnu 1 og endnu 1, fås følgende værdier af y:
y1∙a, y1∙a∙a, y1∙a∙a∙a
At y bliver ganget med a h , når x stiger med h, kan vi også skrive sådan:
y1∙ a h = y2 , hvor x-stigningen h er x2 - x 1 . Om fremskrivningsfaktoren F ved vi:
y1∙ F = y2
Og vi ser dels at F = a h . Dels kan vi isolere F af ligningen y1∙ F = y2 , og det giver
I alt har vi altså
7. Beregne a ud fra (x1, y1) og (x2, y2) – uddybning
(x1, y1) og (x2, y2) er to punkter på grafen for y = b∙a x
I fortsættelse af ovenstående ” 6. Vækst over forskellige perioder - uddybning” side 10 isolerer vi a i af
og får ifølge reglen om løsning af 11. Potensligninger side 5
√
eller (
Da h = x2 - x 1 kan dette omskrives:
√
) (
eller (
)
) (
)
10