Eksponentielle sammenhænge

10. Logaritmefunktionen - uddybning
Logaritmefunktionen er defineret som "den omvendte funktion til 10 x "
Det betyder at den "tæller nuller" når den anvendes på meget runde tal:
Da 10 3 = 1000 er log(1000) = 3
Da 10 2 = 100 er log(100) = 2
Da 10 1 = 10 er log(10) = 1
Da 10 0 = 1 er log(1) = 0
Da 10 -1 = 0,1 er log(0,1) = -1
Da 10 -2 = 0,01 er log(0,01) = -2
(Dette princip gælder også for mere skæve tal:
Da 10 1,5 = 31,6 er log(31,6) = 1,5 (lille afrundingsfejl))
Man kan også sige at sildebenet vendes:
x -2 -1 0 1 1,5 2
10 x
Vendes på hovedet:
0,01 0,1 1 10 31,6 100
x 0,01 0,1 1 10 31,6 100
log(x) -2 -1 0 1 1,5 2
Se eventuelt mere i det tekniske appendix 14.5. Logaritmer side 15.
11. Potensligninger - uddybning
x
3 12
hhv.
5
x
20
Eksempel 11.1
I et potensopløftnings-udtryk kan den ubekendte stå "oppe" som eksponent, og så skal den "logges" ned.
x
Se på ligningen 100 1000000
Her kan man måske gætte at x=3 idet 100 3 = 100100100 = 1 000 000.
Tallet 100 3 = 100100100 har nemlig 3∙2 = 6 nuller
Division af de 6 nuller (i 1 000 000) med de 2 nuller ( i 100) giver i virkeligheden resultatet x=3.
Vi skriver således:
x
100 = 1000000
log( 1000000)
6
x=
log( 100)
2
x=
3
Vi viser nu et lignende eksempel, men med mindre pæne tal:
(Eksempel 11.2)
x=
Gør selv prøve ved at udregne om 3 2,26 x=
2,
26
giver 12 (eller tæt på)!
Eksempel 11.3
Hvis den ubekendte står for neden, gøres således:
x
3 = 12
log( 12)
log( 3)
12