Eksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
4.4) (x ukendt)<br />
Verdens befolkning er 6 mia. og vokser med 1,8% om året. Hvornår når den op på 10 mia.?<br />
x = ?<br />
y = 10 mia.<br />
b = 6 mia<br />
x<br />
ba y<br />
x<br />
61,018 10<br />
Med solve/løs ligning<br />
i f. eks. WordMat / Casio FX 991/<br />
x 28,6<br />
eller<br />
9<br />
x<br />
ba y<br />
Idet x skal findes bruges omskrivningen<br />
y 10 <br />
log log <br />
b 6<br />
x <br />
<br />
<br />
<br />
28,6<br />
log( a)<br />
log(1,018)<br />
(Om logaritmer: log er en lommeregner-tast, regneteknisk hjælpemiddel, se evt. kort gennemgang side …)<br />
Om 28,6 år når verdens befolkning op på 10 mia., hvis den fortsat vokser med 1,8% hvert år<br />
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -<br />
Andre opgavetyper<br />
4.5) (både b og y ukendte)<br />
Undertiden kendes hverken y eller b som absolutte tal, men kun forholdet mellem dem, f. eks. udtrykt i<br />
procent. Det kan som regel betale sig at sætte b = 100%. Vi giver et eksempel.<br />
Eksempel<br />
Et beløb blev forrentet med fast rentefod i 6 år, og voksede derved med i alt 60%.<br />
Hvad var rentefoden?<br />
Vi sætter startværdien til “100%” og får så:<br />
x = 6 (år)<br />
b = 100%<br />
y = 100% + 60% = 160%<br />
a ukendt<br />
p = ?<br />
Dvs. rentefoden var 8,15%<br />
x<br />
ba y<br />
6<br />
100a160 ...(se type 3 ovenfor, a ukendt)...<br />
a 1,0815<br />
p( a1)<br />
100 (1,0815 1) 100 8,15<br />
4.6) (fordobling eller halvering)<br />
Mange opgaver eller problemstillinger handler om hvor lang tid en eksponentielt voksende størrelse er om<br />
at fordobles. (Eller halveres, hvis det er en aftagende udvikling). Man taler om ”fordoblingstid” henholdvis<br />
”halveringstid”. Sådanne opgaver kan løses uden at huske andre formler end regneforskriften<br />
Øvelse<br />
En population voksede med 3% om året. Hvor længe var den om at blive fordoblet?<br />
Vi sætter som ovenfor begyndelseværdien b til 100%, og ”slutværdien” til det dobbelte: 200%<br />
x<br />
ba y<br />
4.7) (gennemsnitlig rentefod eller vækstrate)<br />
Ofte vokser en størrelse uregelmæssigt og med alt andet end samme procent hvert år.<br />
Måske ønsker man at vide hvor mange procent den årlige vækst været i gennemsnit.<br />
Man har vedtaget at give begrebet ”gennemsnitlig rentefod” eller ” gennemsnitlig vækstrate” en præcis<br />
matematisk betydning, som måske er lidt anderledes end man ville forvente.<br />
Man definerer den gennemsnitlige vækstrate (rentefod) som svaret på følgende spørgsmål:
Change language