Eksponentielle sammenhænge

Om uddybningerne nedenfor (begrundelser, beviser, eksempler).
Regneudtrykket y er lettest at forstå, når x er et helt positivt tal, f. eks. 3:
.
Regler og formler om eksponentiel vækst gælder imidlertid også, for x-værdier (tidsangivelser) som er
decimaltal. Det giver mening at spørge: Hvor stor er populationen efter 3.4 år? Og at udregne et svar som
Den matematiske betydning af den slags potenser er berørt i appendix: ”Potenser, rødder og logaritmer”.
Men i nedenstående beviser og begrundelser vil vi holde os til de anskuelige tilfælde med x-værdier, som er
positive hele tal eller evt. 0. Havde man bevist ”potensregnereglerne” for alle reelle tal som eksponenter,
ville det ikke være svært at bevise sætningerne om eksponentielle sammenhænge helt generelt.
- - -
Vi vil i regler og begrundelser ofte tale om den eksponentielle sammenhæng som én der beskriver en
størrelse, y, (f. eks. en population) der vokser med tiden, x, hvor x regnes i år. Matematisk set er dette
naturligvis ingen nødvendighed, resultaterne gælder uanset hvad x er for en størrelse, og hvilken enhed
den angives i.
En del af de 14 punkter i oversigten side 2 - 5 uddybes nedenfor.
Et ”teknisk appendix” til sidst (fra side 13 til 17) rækker ud over hvad der forventes i matematik C.
2. Forklaring med ord af ”eksponentiel vækst” – uddybning
En population vokser eksponentielt gennem en årrække, hvis den har samme procentiske vækst
hvert år.
F. eks. hvis en kapital vokser med 8 % pr. år
(konstanten a udregnes af vækstprocenten p pr x-enhed (f. eks. pr år) med formlen:
Forklaring:
Fra procentregning kender vi fremskrivningsfaktoren F fra y1 til y2 , som opfylder
y2 = y1 ∙ F
Ved eksponentiel vækst bruger man bogstavet a i stedet for F, for den fremskrivningsfaktor, der optræder,
når x stiger med 1. Hvis x måles i år: det som y ganges med, når der går 1 år.
I stedet for
skriver vi altså
6
, og
p er nu den vækstprocent der gælder pr. x-enhed, f. eks. den årlige vækstprocent.
Eksempel om rentetilskrivning:
1000 kr. indsættes og forrentes med 8 procent om året. Hvor mange penge står på kontoen efter 10 år?
Hvert år tillægges 8%, det betyder at beløbet ganges med fremskrivningsfaktoren
a = (
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
) (
)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
)