Kryptologi - KennethHansen.net

Denne enkrypteringsfunktion giver oversættelsestabellen:
0123456789
3579135791
og det ses, at det er umuligt at dekryptere noget som helst - optræder kryptotekstkarakteren '7', så er
det umuligt at vide, om den skal oversættes til '2' eller '7'.
Det viser sig, at kun for ganske bestemte elementer x i Zn kan vi omvende enkrypteringen
E( a) xa . Vi vil nedenfor udvikle det nødvendige matematiske apparatur:
Definition 8
Lad a og b være to hele, positive tal. Det største fælles divisor mellem a og b, skrevet
( a, b ) , defineres som det største hele tal, som går op i både a og b.
Eksempel
Divisorerne i 24 er D 24
Divisorerne i 25 er D 25
Divisorerne i 20 er D 20
Heraf ses, at
{ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
{ 15 , , 25}
{ 1, 2, 4, 510 , , 20}
( 24, 25) 1 ( 24, 20) 4 og ( 20, 25) 5
Endvidere gælder der faktisk, at
( 24, 24) 24 .
Ovenstående metode, hvor man finder største fælles divisorer ved at opskrive samtlige divisorer i de
to tal og finde de fælles divisorer, er faktisk temmeligt bøvlet. En smartere metode er at anvende
Euklids algoritme:
Sætning 9
Lad a og b være hele positive tal, a b . Så gælder, at
( a, b)
( a MOD b , b)
Bevis:
Vi sætter q a DIV b , r a MOD b og konstaterer, at der gælder
a qb r eller r a qb
Selve beviset er i to dele: Først bevises, at enhver fælles divisor i a og b også er en fælles
divisor i r og b. Dernæst bevises, at enhver fælles divisor i r og b er en fælles divisor i a og
18