Kryptologi - KennethHansen.net

11. Eulers -funktion
Vi skal nu have den sidste ingrediens til RSA-kryptosystemet, nemlig Eulers -funktion. Denne er
opkaldt efter matematikeren Leonhard Euler, der levede i det 18. århundrede.
Definition 22
Lad n være et helt, positivt tal. Så defineres ( n ) som antallet af elementer i Zn ,
der er indbyrdes primiske med n.
Eksempel
Ved direkte udregning ser vi, at ( 6) 2 - der er nemlig kun tallene 1 og 5, der er
indbyrdes primiske med 6.
11 er et primtal, så alle tal i Z11 på nær 0 er indbyrdes primiske med 11. Dvs. ( 11) 10 .
Der findes en generel formel til beregning af ( n ) ud fra kendskab til primtalsopløsningen af n:
Sætning 23
1 Lad primtalsopløsningen af n være n p1 p2 Så er
2 ... pm
.
k 1
1 k2
( n) p1
( 1
) p2
( 1
p
1 k 1
m ) ... pm ( 1
)
p
p
Vi vil ikke bevise denne sætning, men kun nogle specialtilfælde af den:
Sætning 24
Lad p og q være to primtal.
a) ( p) p 1
b) ( p ) p p
c) ( pq) ( p 1) ( q 1
)
Bevis:
a) Hvis p er et primtal, så er alle tallene i Z p pånær 0 indbyrdes primiske med p. Men der er jo
p 1 af disse tal.
k k
b) Der er p n elementer i Z p n . Hvert p'ende af disse tal er divisibel med p og er derfor ikke
indbyrdes primisk med p n . Tilbage er der derfor
1
n n n1
2
48
k m
m