Kryptologi - KennethHansen.net

( n) 1
(
n)
a a a 1 (mod n)
.
Et specialtilfælde af Eulers sætning er Fermats lille sætning:
Bevis:
Idet p er et primtal, så er ( p) p 1.
Eksempel
Hvad er den multiplikativt inverse til 7 modulo 24?
For det første konstaterer vi, at ( 7, 24) 1,
så 7 har altså en multiplikativt invers modulo 24.
3
For det andet primfaktoriserer vi 24: 24 2 3,
og anvender sætning 23 til at beregne
( 24 ) :
( 24) 2 ( 1 ) ( )
1 1
3 1 8
2 3
1
3
2
3 8 .
2 3
Endelig beregner vi
( 24)1 81 7 2 2 2
7 7 7 7 7 7 7 49 49 49 7 111 7 7 .
Ergo
1 7 7 (mod 24)
.
Indenfor RSA-systemet er vi interesseret i tal af formen pq , hvor p og q er forskellige primtal. Lad
os derfor bevise nedenstående sætning, der ofte kalde den kinesiske restklassesætning.
Bevis:
Sætning 27
p1 Lad p være et primtal, og ( a, p) 1. Så er a 1 (mod n)
Sætning 28
Lad n pq , hvor p og q er forskellige primtal. Så gælder for alle hele tal a og b, at
a b (mod p) a b (mod q) a b (mod pq)
a b (mod p) p ( b a)
a b (mod q) q ( b a)
Både p og q er altså primtalsdivisorer i b a . Men da p og q er forskellige primtal, så må
pq være en divisor i b a , hvilket beviser sætningen.
Vi har nu den sidste sætning før RSA-systemet:
50