Kryptologi - KennethHansen.net

2. Modulær aritmetik
Vi skal nu se nærmere på, hvorfor Cæsar-substitutionen kaldes en additiv monoalfabetisk
substitution:
Alfabetet ved Cæsar-substitutionen er jo
{A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z,Æ,Ø,Å}
men man kunne lige så godt bruge tal - A erstattes med 0, B med 1, ... Å med 28.
Dette har den fordel, at substitution med nøgleværdien k kan beskrives matematisk ved
Ek ( a) a k
og Dk ( b) b k
Her er E k enkrypteringsfunktionen, D k dekrypteringsfunktionen, a er en vilkårlig
klartekstskarakter og b en vilkårlig kryptotekstkarakter.
Vælger vi f.eks. den klassiske Cæsar-substitution med k 3, så ses, at
E3( 2) 2 3 5,
hvilket oversættes til, at bogstavet C krypteres til E.
Desværre opstår der nogle problemer, f.eks.
E3( 27) 27 3 30
Men Ø krypteres ikke til bogstav 30 (hvad det så end er), men til B, bogstav 1...
Dette, og andre problemer, kan løses ved at indføre den modulære aritmetik, som er en del af
talteorien.
I det følgende vil vi kun beskæftige os med hele tal. Vi starter med et af de grundlæggende
begreber, divisibilitet.
Definition 1
Lad a og b være hele tal. Vi siger, at a går op i b, symbolsk a b , hvis der findes et
helt tal k, således at b k a .
Alternativt siger vi, at a er en divisor i b.
Eksempel
2 28 , idet 28 14 2 (altså, k 14 )
Til gengæld har vi, at 5 ikke går op i 43. Ganske vist kan vi skrive 43 8, 65 , men k 8, 6
er ikke et helt tal!
8