Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

(b) Gør rede for, at lim inf An = {x ∈ U | x ∈ Ai for alle i fra et vist trin }.
(c) Vis, at
(d) Vis, at
∞
An ⊆ lim inf An ⊆ lim supAn ⊆
n=1
∞
An. (1.18)
∁(lim sup An) = lim inf ∁An og ∁(lim inf An) = lim sup∁An. (1.19)
(e) Vis, at hvis A1 ⊆ A2 ⊆ ... ⊆ An ⊆ ..., da er
lim inf An = lim supAn =
(f) Vis, at hvis A1 ⊇ A2 ⊇ ... ⊇ An ⊇ ..., da er
lim inf An = lim supAn =
n=1
∞
An.
n=1
∞
An.
n=1
Øvelse 1.29. Lad An for n = 1,2,... betegne halvplanen
(a) Vis, at
(b) Vis, at
lim supAn =
lim inf An =
2 Afbildninger
An = {(x1,x2) ∈ 2 | x2 ≥ (−1) n nx1}.
∞
An = ∁{(x1,x2) ∈ 2 | x1 = 0 og x2 < 0}.
n=1
∞
An = {(x1,x2) ∈ 2 | x1 = 0 og x2 ≥ 0}.
n=1
I dette afsnit indfører vi funktionsbegrebet med mængdelæren som grundlag.
Definition 2.1. Lad X og Y være to mængder. X × Y betegner mængden
af ordnede par (x,y), hvor x ∈ X og y ∈ Y .
Rækkefølgen (x p˚a 1. plads, y p˚a 2. pladsen) er væsentlig. Faktisk er
(y,x) slet ikke et element i X × Y , medmindre da tilfældigvis X = Y .
10