Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

Definition 2.2. Lad X og Y være to mængder. En funktion eller en afbildning
af X ind i Y er en trippel {X,Y,f}, hvor f er en delmængde af
X × Y med følgende egenskab: For ethvert element x ∈ X findes der netop
ét element y ∈ Y , s˚a (x,y) ∈ f.
Det éntydige element y ∈ Y , for hvilket (x,y) ∈ f, betegnes med f(x).
Symbolet f : X → Y benyttes ofte som en forkortelse for ”f er en
afbildning af X ind i Y ”.
X kaldes for funktionens domæne eller definitionsomr˚ade, og Y for dens
codomæne.
N˚ar man taler om en funktion, s˚a er dens domæne X og dens codomæne
Y indbygget i funktionen i kraft af Definition 2.2, der jo specificerer b˚ade X
og Y . Ofte underforst˚as X og Y , s˚a man i stedet for at tale om funktionen
{X,Y,f} blot taler om funktionen f. En reel funktion f : X → kan
selvfølgelig anskues som en funktion, der tager komplekse værdier, idet ⊆
, men vi skelner alts˚a mellem den reelle og den komplekse funktion, fordi
de har forskellige codomæner.
Oftest bruges ordet funktion om en afbildning af en mængde X ind de
reelle eller komplekse tal, medens ordet afbildning bruges for et vilk˚arligt
codomæne.
Delmængden f af X × Y er f = {(x,f(x)) ∈ X × Y | x ∈ X}, s˚a en
funktion f : X → Y kan defineres ved, at vi til ethvert x ∈ X angiver
værdien f(x) ∈ Y . Ofte møder man vendingen ”funktionen f defineret ved
f(x) = ..., x ∈ X”, hvor ... er et eller andet udtryk i x, der giver et element
i Y . Med vendingen menes funktionen f = {(x,y) ∈ X × Y | y = f(x)}
(principielt dog triplen {X,Y,f}). F.eks. mener man med ”funktionen f
defineret ved f(x) = x 3 , x ∈ ”, funktionen {(x,y) ∈ 2 | y = x 3 }.
Undertiden skriver man funktionen f som x ↦→ f(x), x ∈ X. F.eks. betyder
x ↦→ x 3 , x ∈ , funktionen f defineret ved f(x) = x 3 , x ∈ .
I visse sammenhænge bruges der andre ord for afbildninger. F.eks. n˚ar
man, givet en mængde X, betragter en følge {x1,x2,...} i X. Følgen tilordner
til ethvert n ∈ elementet xn i X, s˚a der er dermed faktisk tale
om funktionen f : → X givet ved f(n) = xn, n ∈ . En følge er alts˚a
en funktion med de naturlige tal som definitionsomr˚ade. For en afbildning
mellem vektorrum benytter man ofte glosen ”operator” i stedet for glosen
”funktion”.
En ofte mødt definition p˚a funktion er, at en funktion f : X → Y er en
regel eller forskrift, der til ethvert element i X tilordner netop ét element i
Y . I indeværende fremstilling er vi imidlertid utilfredse med ordene ”regel”
og ”forskrift”, idet de er vage og ikke defineret mængdeteoretisk. Begrebet
funktion som defineret i Definition 2.2 giver mening til disse vage termer.
Men vi definerer alts˚a funktionsbegrebet, før vi benytter disse ord for en
funktion. Vi kan og vil imidlertid benytte dem fra nu af.
Lad f1 : X1 → Y1 og f2 : X2 → Y2 være to funktioner. Vi bemærker, at
11