Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

Sætning 1.16. Lad A, B og C være mængder. Da gælder
(a) A ∩ ∅ = ∅.
(b) A ∩ B = B ∩ A (kommutativitet).
(c) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (associativitet).
(d) A ∩ A = A.
(e) A ⊆ B hvis og kun hvis A ∩ B = A.
Bevis. OTL.
Definition 1.17. To mængder X1 og X2 siges at være disjunkte, s˚afremt
X1 ∩ X2 = ∅.
Øvelse 1.18. I denne opgave vil vi betragte en speciel familie af delmængder
af 2 , nemlig de lukkede mængder.
Definition 1.19. En delmængde F af 2 siges at være lukket eller afsluttet,
s˚afremt den har følgende egenskab:
For enhver konvergent følge x1,x2,... ,xn,... → x0, hvor xn ∈ F for ethvert
n ∈ , vil ogs˚a grænsepunktet x0 ∈ F.
(a) Gør rede for, at kvadratet [0,1] × [0,1] og enhedsintervallet [0,1] × {0}
begge er lukkede mængder.
(b) Vis, at den ˚abne enhedscirkel {(x,y) ∈ 2 | x 2 + y 2 < 1} ikke er lukket.
(c) Lad F1 og F2 være lukkede. Vis, at F1 ∩ F2 og F1 ∪ F2 er lukkede.
(d) Lad {Fi | i ∈ I} være en mængde af lukkede mængder. Vis, at
i∈I Fi
er lukket.
(e) Lad F1,F2,... være en følge af lukkede mængder. Er foreningsmængden
F1 ∪ F2 ∪ · · · = ∞
n=1 Fn altid lukket?
(f) Gør rede for, at ∅ er lukket.
(g) Gør rede for, at 2 er lukket.
Idet Definition 1.19 ovenfor p˚a lukkede mængder kopieres til , ved at
vi erstatter 2 med , skal man vise, at punkterne (c) - (g) ogs˚a holder for
(i punkt (g) skal der s˚a selvfølgelig st˚a i stedet for 2 ).
Øvelse 1.20. Vis følgende to s˚akaldt distributive love, der knytter kompositionsreglerne
∪ og ∩ sammen:
(X ∪ Y ) ∩ Z = (X ∩ Z) ∪ (Y ∩ Z), (1.2)
(X ∩ Y ) ∪ Z = (X ∪ Z) ∩ (Y ∪ Z). (1.3)
7