Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

Definition 2.10. Ved potensmængden P(X) for mængden X forst˚ar man
mængden af alle delmængder af X.
Hvis eksempelvis X = {a,b}, s˚a er P(X) en mængde med 4 elementer,
idet P(X) = {∅, {a}, {b}, {a,b}}.
Det fremg˚ar af definitionen p˚a urbillede, at n˚ar f : X → Y , s˚a er f −1 en
afbildning af P(Y ) ind i P(X).
Vi pointerer, at f −1 (Y0) er en delmængde af X, ikke et element i X,
og at f −1 (Y0) er defineret for enhver delmængde Y0 af Y . Vi skal i Afsnit 3
møde en anden betydning af symbolet f −1 , nemlig som den inverse funktion,
uden disse egenskaber. Principielt burde man selvfølgelig benytte forskellig
notation for forskellige begreber, men det gør man i dette tilfælde alts˚a ikke.
Det overlades dermed læseren til ud fra sammenhængen at afgøre, hvilken
af de to betydninger f −1 har.
Betragt for eksempel den reelle funktion h, der til ethvert punkt i Danmark
tilordner dets højde over havoverfladen. Et topografisk kort over Danmark
viser punkterne med samme højde som en niveaukurve (eventuelt med
flere forskellige komponenter). Niveaukurven svarende til højden y over havoverfladen
er mængden h −1 ({y}). Pointen er, at h −1 ({y}) er en mængde.
Det er nok værd at overveje, hvilke sammenhænge der er mellem billedmængder
og urbilleder. Den næste sætning angiver nogle af dem.
Sætning 2.11. Lad f : X → Y være en afbildning af X ind i Y .
(a) Hvis B ⊆ Y , s˚a vil f −1 (∁B) = ∁(f −1 (B)).
(b) Hvis B ⊆ Y , s˚a vil f(f −1 (B)) ⊆ B.
(c) Hvis f er surjektiv og B ⊆ Y , s˚a vil f(f −1 (B)) = B.
(d) Hvis A ⊆ X, s˚a er A ⊆ f −1 (f(A)).
(e) Hvis f er injektiv [defineres nedenfor] og A ⊆ X, s˚a er A = f −1 (f(A)).
Bevis. OTL.
Definition 2.12. Lad X og Y være to mængder, og lad f : X → Y være en
afbildning af X ind i Y . Afbildningen f siges at være en injektion, at være
injektiv eller kort skrevet 1 − 1, s˚afremt der for ethvert y ∈ Y er højst ét
x ∈ X, s˚a f(x) = y.
I Lemma 2.13 angiver vi nogle betingelser, der kan være nyttige, n˚ar man
skal afgøre, om en given afbildning er injektiv.
Lemma 2.13. Lad X og Y være to mængder, og lad f : X → Y være en
afbildning af X ind i Y . Da er følgende fire udsagn ækvivalente:
(a) f er en injektion.
13