Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

Eksempel 4.5. Mængden N er en uendelig mængde. Det samme gælder
selvfølgelig enhver mængde, der har som en delmængde.
Vi fører et indirekte bevis, dvs vi antager, at er endelig og fører denne
antagelse til en modstrid. At er endelig, betyder, at der findes et naturligt
tal n og en bijektion f : → [1,n]. Af [1,n] f˚as, at f([1,n]) f( ) =
[1,n]. Men det strider mod Proposition 4.2.
Den sidste p˚astand følger af Proposition 4.4, kombineret med, at N er
uendelig, hvilket jo netop er vist.
Øvelse 4.6. (a) Lad A1 og A2 være endelige mængder. Vis, at A1 ∪A2 ogs˚a
er endelig.
(b) Lad A1,A2,... ,An, hvor n ∈ , være (endelig mange) endelige mængder.
Vis, at A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ogs˚a er endelig.
Øvelse 4.7. Lad A og B være to disjunkte, endelige mængder. Vis, at A∪B
er en endelig mængde, og at |A ∪ B| = |A| + |B|.
Øvelse 4.8. Lad x0 ∈ X, hvor X er en uendelig mængde. Vis, at X \ {x0}
er en uendelig mængde.
Øvelse 4.9. Lad f : X → Y , hvor X og Y er to endelige mængder med det
samme antal elementer. Vis, at f er injektiv, hvis og kun hvis f er surjektiv.
5 Om numerable mængder
Definition 5.1. Lad X være en mængde.
(a) X siges at være numerabel, s˚afremt X og har samme kardinalitet, dvs
at der findes en bijektion af X p˚a .
(b) X siges at være tællelig eller højst numerabel, s˚afremt X er endelig eller
numerabel.
(c) X siges at være overtællelig, s˚afremt X ikke er tællelig.
Numerabel oversættes til countably infinite eller countable p˚a engelsk.
Visse forfattere bruger ordet countable i betydningen tællelig, s˚a det er en
god idé at checke forfatterens definition af countable.
At en mængde X er tællelig, betyder billedligt, at dens elementer kan
stilles som en liste: Lad f : [1,n] → X eller f :
→ X være en bijektion,
alt efter om X er endelig eller uendelig. P˚a elementet f(1) klasker vi et
mærkat, hvorp˚a der st˚ar Nr. 1, p˚a f(2) klasker vi et mærkat, hvorp˚a der
st˚ar Nr. 2, osv. Ethvert element f˚ar et mærkat, da f er p˚a; og det f˚ar ikke
to forskellige, da f er 1 − 1. Hvis mængden er endelig, dvs vi har med
bijektionen f : [1,n] → X at gøre, bruger vi blot n mærkater. Hvis den er
uendelig, s˚a f˚ar vi brug for alle numrene 1,2,.... Vi har hermed f˚aet sat
18