Slides

n! -formodningen
Jesper Funch Thomsen
Gymnasielærerdag
30. marts 2012

Historie
1988 : Ian Macdonald introducerer Macdonald polynomier
◮ Symmetriske polynomier i uendeligt mange variable.
◮ Link mellem forskellige velkendte klasser af symmetriske
polynomier.
◮ Definerer visse overgangsfunktioner : Kostka-Macdonald
polynomier ˜K λ,µ (q, t) ∈ Q(q, t).
◮ Macdonalds positivitetsformodning : ˜K λ,µ (q, t) ∈ N[q, t].
1993 : Mark Haiman og Andriano Garsia formulerer
n!-formodningen.
◮ A graded representation model for Macdonald’s polynomials,
Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 90 (1993), no. 8, 3607-3610.
◮ Viser at n!-formodningen medfører Macdonalds
positivitetsformodning.
2001 : Mark Haiman afslutter beviset for n!-formodningen :
◮ Hilbert schemes, polygraphs, and the Macdonald positivity
conjecture, J. Amer. Math. Soc. 14 (2001), 941-1006.
◮ Mix af kombinatorik, algebraisk geometri, homologisk
algebra og repræsentationsteori.

Polynomier
R[x] = mængden af reelle polynomier i én variabel x.
1) R[x] er et vektorrum over R:
◮ p, q ∈ R[x] =⇒ p + q ∈ R[x].
◮ α ∈ R, p ∈ R[x] =⇒ α · p ∈ R[x].
2) R[x] er stabil overfor differentiation
◮ p ∈ R[x] =⇒ p ′ ∈ R[x].
3) Ethvert element p i R[x] har kun endeligt mange højere
ordens afledte p, p ′ , p ′′ , p ′′′ , · · · forskellig fra 0.
4) Hvad er dimensionen af vektorrummet
V p = Span(p, p ′ , p ′′ , . . . )

Polynomier i m variable
R[x 1 , . . . , x m ] = mængden af reelle polynomier i m variable.
1) R[x 1 , . . . , x m ] er et vektorrum over R:
◮ p, q ∈ R[x 1 , . . . , x m ] =⇒ p + q ∈ R[x 1 , . . . , x m ].
◮ α ∈ R, p ∈ R[x 1 , . . . , x m ] =⇒ α · p ∈ R[x 1 , . . . , x m ].
2) R[x 1 , . . . , x m ] er stabil overfor partiel afledte
◮ p ∈ R[x 1 , . . . , x m ] =⇒ ∂p
∂x i
∈ R[x 1 , . . . , x m ].
3) Ethvert element i R[x 1 , . . . , x m ] har kun endeligt mange
højere ordens partielt afledte
∂
∂x i1
∂
∂x i2
· · ·
4) Hvad er dimensionen af vektorrummet
V p = Span( ∂
∂x i1
∂
∂x i2
· · ·
∂
∂x ik
p forskellig fra 0.
∂
∂x ik
p)

Young diagrammer
Et Young-diagram med n kasser er en venstre-justeret opstilling
af n kasser:
Kasserne nummereres via koordinater
(n=9)
(0,3)
(0,2) (1,2)
(0,1) (1,1) (2,1)
(0,0) (1,0) (2,0)

Polynomier og Young-diagrammer
Et Young diagram µ giver anledning til et polynomium:
p µ = det(x p j
i
y q j
i
) 1≤i,j≤n ,
hvor (p j , q j ) 1≤j≤n
betegner koordinaterne hørende til Young
diagrammet.
Eksempel : Polynomiet hørende til Young-diagrammet
µ = (0,1)
(0,0) (1,0)
er
⎛
x1 0y 1 0 x1 1y 1 0 x1 0y 1 ⎞ ⎛ ⎞
1 1 x 1 y 1
p µ = det ⎝x2 0y 2 0 x2 1y 2 0 x2 0y 2
1 ⎠ = det ⎝1 x 2 y 2
⎠
x3 0y 3 0 x3 1y 3 0 x3 0y 3
1 1 x 3 y 3

n! -formodningen
µ = Young diagram med n kasser.
p µ = polynomiet i de variable x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n hørende til µ.
V pµ
= vektorrummet udspændt af alle højere ordens partielle
afledte af p µ .
SÆTNING (M. Haiman 2001)
dim(V pµ ) = n!.

Et specialtilfælde
Betragt en Young diagram µ af formen
µ = (0,0) (1,0) (2,0) . . . (n−2,0) (n−1,0)
Så
⎛
1 x 1 x1 2 · · · x n−1 ⎞
1
1 x 2 x2 2 · · · x n−1
2
p µ = det ⎜
⎝
.
. . . ..
⎟
. ⎠ = ∏ (x i − x j )
1 x n xn 2 · · · xn
n−1 i>j
Dette er den såkaldte Vandermonde determinant.

En reduktion
SÆTNING (S. Kumar og JFT, 2003) Det er tilstrækkeligt at
vise n!-formodningen for følgende Young diagrammer
, , , , . . .