Eksamenssæt Calculus 2 (pdf) - Aarhus Universitet

Aarhus Universitet. Naturvidenskabelig Bacheloruddannelse. Januar 2010.
Calculus 2.
Opgave 1. Lad f betegne funktionen f(x, y) = 1 + 2x + 3x 2 y + 4xy 2 .
1) Beregn de partielle afledede af f og angiv gradienten ∇f.
2) Udregn den retningsafledede D u f(2, 1), hvor u er en enhedsvektor i retningen
givet ved vinklen π 3 .
3) Bestem den enhedsvektor v for hvilken værdien af den retningsafledede
D v f(2, 1) er størst. Angiv denne største værdi.
Opgave 2. Betragt 3 × 3-matricen A givet ved
A =
⎛
⎜
⎝
4 0 1
0 5 0
1 0 4
⎞
⎟
⎠ .
1) Beregn det karakteristiske polynomium for A.
2) Vis, at (1, 1, 1) T er en egenvektor og bestem den tilhørende egenværdi. Find
de resterende egenværdier.
3) Angiv egenrummet for hver egenværdi.
Opgave 3. Lad D være området, som i polære koordinater (r, θ) er bestemt ved
0 ≤ θ ≤ π og 0 ≤ r ≤ √ 2 sin θ.
1) Skitser området.
2) Opstil et dobbeltintegral til beregning af arealet af D.
3) Udregn arealet af D.
Opgave 4. Det antages, at der er en sammenhæng mellem to variable x og y af
formen y = c 0 + c 1 x. På baggrund af følgende data
x 1 2 3 4
y 11 19 31 40
ønskes en bestemmelse af de bedst mulige værdier (“best least squares fit”) for
koefficienterne c 0 og c 1 .
1) Opstil et overbestemt ligningssystem på formen Ac = y til bestemmelse af
vektoren c = (c 0 , c 1 ) T .
2) Udregn normalligningerne A T Ac = A T y.
3) Find c 0 og c 1 , og angiv sammenhængen mellem x og y.
(Opgavesættet fortsætter!)
1

Opgave 5. Betragt funktionerne f og g givet ved
f(x, y) = x + y, g(x, y) = 2x 2 + 3y 2 .
1) Beregn de partielle afledede af funktionerne f og g.
2) Opstil Lagrange ligningerne til bestemmelse af maksimum/minimum for
funktionen f under bibetingelsen g(x, y) = k.
3) Det oplyses, at f har et minimum og et maksimum under bibetingelsen
g(x, y) = 30. Bestem de punkter hvor ekstremum antages, og angiv de tilhørende
ekstremumsværdier.
Opgave 6. Betragt funktionen f(x) = ln x . Det oplyses, at de afledede for n > 0
2
er
f (n) (x) = (−1) n−1 (n − 1)!x −n .
1) Gør rede for, at potensrækken i (x − 2),
∞∑ (−1) n−1
(x − 2) n ,
n=1
n2 n
er Taylorrækken for funktionen f(x) omkring 2.
2) På intervallet ]0, 4[ er funktionen f(x) fremstillet ved potensrækken fra 1).
Benyt dette til at udregne en potensrække i (x − 2), der fremstiller funktionen 1 x
omkring 2.
3) Angiv ved benyttelse af 1) de første 4 led i en talrække til beregning af
ln 1.2 = f(2.4).
Opgave 7. Betragt differentialligningssystemet
y 1 ′ = 3y 1 + 2y 2
y 2 ′ = 6y 1 + 2y 2 .
Det oplyses, at tallene −1 og 6 er egenværdierne for systemets koefficientmatrix.
1) Beregn egenvektorerne for hver egenværdi.
2) Angiv løsningerne til differentialligningssystemet.
3) Bestem den løsning, der opfylder begyndelsesbetingelsen
(
y1 (0)
y 2 (0)
)
=
(
6
23
)
.
2