"Euklids algoritme og kædebrøker" (pdf)

Euklids algoritme og kædebrøker
Michael Knudsen
I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de
hele, de rationale og de reelle tal. Altså er
{ m
}
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} og Q =
n | m, n ∈ Z, n ≠ 0 ,
og vi forudsætter, at de reelle tal er kendt fra gymnasiet. Et reelt tal, der
ikke er et rationalt tal, kaldes irrationalt. Med Z ≥0 betegner vi mængden af
de ikke-negative, hele tal.
Lad d, n ∈ Z være hele tal. Vi siger, at d går op i n, hvis der findes et
q ∈ Z, så n = qd. Eksempelvis går 7 op i 21, da 21 = 3 · 7, men for vilkårlige
d og n er det ikke sikkert, at d går op i n. For eksempel går 3 ikke op i 14,
men det er tæt på – vi skal bare lægge en rest til:
14 = 4 · 3 + 2.
Der gælder helt generelt følgende meget vigtige sætning:
Sætning 1.1. Lad d, n ∈ Z med d ≠ 0 være givet. Da findes entydigt
bestemte tal q, r ∈ Z, så
n = qd + r og 0 ≤ r < d.
Tallene q og r kaldes henholdvis kvotienten og resten af n ved division
med d.
Bemærk, at d går op i n, netop hvis resten af n ved division med d er 0.
For eftertiden vil vi for at lette notationen skrive d | n, hvis d går op i n.
Lad nu m, n ∈ Z være hele tal. Vi definerer
{
}
div(m, n) = d ∈ Z ∣ d | m og d | n ,
altså mængden af alle de tal, som går op i både m og n. Et tal d ∈ div(m, n)
siges at være en fælles divisor i m og n.
1

Påstand 1.2. Lad d, n ∈ Z med d ≠ 0, og skriv n = qd + r ved division
med rest. Da gælder
div(n, d) = div(d, r).
Bevis. Når man skal vise, at to mængder er ens, er det ofte en god ide at
vise, at den første er indeholdt i den anden, og at den anden er indeholdt i
den først – tænk!
Inklusionen ⊆: Lad x ∈ div(n, d). Så gælder x | n og x | d. Vi skal vise,
at x ∈ div(d, r), altså at x | d og x | r. Det første har vi antaget, og da
r = n − qd, gælder x | r, da x | n og x | d.
Inklusionen ⊇: Lad nu x ∈ div(d, r). Så gælder x | d og x | r. Vi skal nu
vise, at x | n og x | d. Det sidste har vi antaget, og da n = qd + r, gælder
også x | n, da x | d og x | r.
Lad m, n ∈ Z. Den største fælles divisor af m og n er det største tal,
som går op i både m on n. Vi skriver kort sfd(m, n) for den største fælles
divisor af m og n.
Påstand 1.3. Lad d, n ∈ Z med d ≠ 0, og skriv n = qd + r ved division
med rest. Da gælder
sfd(n, d) = sfd(d, r).
Bevis. I følge den foregående påstand er div(n, d) = div(d, r), så specielt er
det største tal, der går op i både n og d, også det største tal, som går op i
både d og r.
Givet to hele tal, n og m, hvordan finder man så deres største fælles
divisor For relativt små tal er det som regel ikke noget problem at gætte
den. Eksempelvis er sfd(13, 8) = 1.
Opgave 1. Beregn tallet sfd(294, 1001). Prøv med andre tal. Er det let
Lad os med et (meget simpelt) eksempel illustrere en metode, som virker
generelt. Lad os vise, at sfd(13, 8) = 1. Vi laver division med rest nogle gange.
Først deler vi 13 med 8 og får:
13 = 1 · 8 + 5
2

I følge påstanden ovenfor, har vi nu, at
sfd(13, 8) = sfd(8, 5).
Gentages spøgen nu med tallene 8 og 5 i stedet for 13 og 8, fås
og vi har altså
8 = 1 · 5 + 3,
sfd(8, 5) = sfd(5, 3).
Vi fortsætter på denne måde nogle gange endnu og finder
så vi alt i alt har
5 = 1 · 3 + 2
3 = 1 · 2 + 1
2 = 2 · 1 + 0,
sfd(13, 8) = sfd(8, 5) = sfd(5, 3) = sfd(3, 2) = sfd(2, 1) = sfd(1, 0) = 1.
Opgave 2. Brug ovenstående metode til at beregne sfd(294, 1001). Kan
man bruge metoden til at berenge sfd(m, n) for vilkårlige hele tal m og n
Hvorfor stopper metoden efter endeligt mange skridt
Opgave 3. Når vi skal beregnes den største fælles divisor af to tal, laver
vi division med rest et vist antal gange (som i eksemplet ovenfor). Gør rede
for, at den sidste rest ≠ 0, er den største fælles divisor.
Nu er vi vist ved at være godt nok rustede til at give os i kast med
kædebrøker! Vi begynder med et simpelt eksempel. Følgende beregninger
(division med rest) er rare at have ved hånden:
19 = 2 · 8 + 3
8 = 2 · 3 + 2
3 = 1 · 2 + 1
Ved hjælp af ovenstående beregninger finder vi nu, at
19
8 = 2 + 3 8 = 2 + 1 8
3
= 2 + 1
2 + 2 3
= 2 + 1
2 + 1 3
2
= 2 +
1
2 + 1 .
1+ 1 2
Dette kaldes kædebrøken for tallet 19
8 . Tallene
2, 2 + 1 2 , 2 + 1
2 + 1 1
og 2 +
1
2 + 1
1+ 1 2
3

kaldes kædebrøkens konvergenter. Skrevet lidt pænere er konvergenterne
2,
5
2 , 7
3
Bemærk, at konvergenterne (læst fra venstre mod højre) kommer nærmere
og nærmere 19 8
. Brug eventuelt en lommeregner.
Generelt er en kædebrøk for et rationalt tal en opskrivning af tallet på
formen
q 0 +
og
1
q 1 +
1
q 2 + 1
···+ 1
qn
hvor q 0 , q 1 , . . . , q n ∈ Z.
Lad os for en stund tro på, at det altid kan lade sig gøre, at skrive et
rationalt som en kædebrøk. Vi skal nok vende tilbage til beviset!
Opgave 4. Find kædebrøken for 23 4 .
Det gik (forhåbentlig) godt med at finde kædebrøken for 23 4
. Lad os nu
se, hvorfor det altid går godt.
19
8 .
Sætning 1.4. Ethvert rationalt tal kan skrives som en kædebrøk.
Bevis. Vi har ovenfor skitseret den metode, man skal bruge til gradvist at
opbygge kædebrøken. Det gik godt i vores eksempel, fordi vi på et tidspunkt
i udregningerne med division med rest fik resten 1.
Ethvert rational tal kan skrives som en uforkortelig brøk. Det vil sige, at
den største fælles divisor af tælleren og nævneren er 1. I følge Opgave 3 vil
vi altså på et tidspunkt få 1 som rest.
Opgave 5. Gør rede for, at ethvert tal, der kan skrives som en kædebrøk,
er et rationalt tal.
,
Påstand 1.5. Tallet √ 2 er ikke et rationalt tal.
Bevis. Antag, at √ 2 er et rationalt tal, og skriv det som en uforkortelig brøk
√
2 =
a
b ,
hvor a, b ∈ Z, b ≠ 0. Ved at kvadrere på begge sider af lighedstegnet og
gange over får vi
2b 2 = a 2 ,
4

så 2 går op i a 2 . Det vil sige, at a 2 er et lige tal, men så må også a være lige
(da kvadratet på et ulige tal er ulige). Altså går 2 op i a, så vi kan skrive
a = 2c for et c ∈ Z. Altså gælder
hvilket giver
2b 2 = a 2 = (2c) 2 = 4c 2 ,
b 2 = 2c 2 .
Dette giver, at b 2 er lige, men så må også (med samme argument som ovenfor)
b være lige. Altså har vi vist, at både a og b er lige. Så kan brøken a b
forkortes, men det er i modstrid med, at den er uforkortelig. Altså må vores
antagelse om, at √ 2 er et rationalt tal, være forkert.
Vi ved nu, at tallet √ 2 ikke er et rationalt tal, og så kan det i følge
Opgave 5 ikke skrives som en kædebrøk ... men det kunne nu være fristende
at prøve alligevel!
Lad os først lige indføre lidt notation. For et reelt tal x ∈ R betegner
vi heltalsdelen af x med [x]. Det vil sige, at [x] er det største hele tal, som
er mindre end eller lig med x. For eksempel er [2, 7] = 2, [−1, 5] = −2 og
[π] = 3.
Opgave 6. Lad n, d ∈ Z med d ≠ 0, og skriv n = qd + r ved hjælp af
division med rest. Gør rede for, at [ n d ] = q.
Inden vi går videre, så lad os lige minde om, at
1
√
2 − 1
=
√
2 + 1
( √ 2 − 1)( √ 2 + 1) = √ 2 + 1 og [ √ 2] = 1.
Vi forsøger os nu med følgende fremgangsmåde (der faktisk er den samme
som den vi brugte, da vi lavede kædebrøker for rationale tal – brug Opgave
6):
√ √ √ √ √ 1
1
2 = [ 2] + 2 − [ 2] = 1 + 2 − 1 = 1 +
√ 1
= 1 + √ .
2−1
2 + 1
Vi gentager nu proceduren på √ 2 + 1 – bemærk at [ √ 2 + 1] = 2 – og får
√ 1
2 = 1 +
2 + ( √ 2 + 1) − 2 = 1 + 1
1
2 + 1 = 1 +
√
1 2 + 1 .
√
2−1
2+1
Fortsætter vi på ovenstående måde (bemærk, at det er √ 2+1, der dukker
op hver gang), får vi
√ 1
2 = 1 +
1
2 +
2+
1
2+
2+···
1
,
5

som fortsætter i det uendelige. Dette giver ikke umiddelbart mening! Det er
blot en notation, som skal antyde proceduren.
Lad os prøve at kigge lidt på konvergenterne:
1, 1 + 1 2 , 1 + 1
2 + 1 , 1 +
2
Skrevet lidt pænere er disse
1,
1
2 + 1 , 1 +
2+ 1 2
3
2 , 7
5 , 17
12 , 41
29 , . . . .
1
2 + 1
2+ 1
2+ 1 2
, . . . .
Det bemærkelsesværdige er, at konvergenterne nærmer sig √ 2. Prøv eventuelt
at bruge en lommeregner.
Dette er ikke tilfældigt! Faktisk gælder der følgende sætning, hvis bevis
vi udelader.
Sætning 1.6. Lad x ∈ R være et reelt tal, og skriv x som en kædebrøk
med konvergenter K i , hvor i ∈ Z ≥0 . Da gælder
lim K n = x.
n→∞
Man kan altså i følge ovenstående sætning benytte kædebrøker til at
finde rationale tilnærmelser til reelle tal. Desværre kan det dog være lidt
besværligt at beregne konvergenterne, da der skal sættes på fælles brøkstreg
et betragteligt antal gange. Heldigvis er der en lettere metode, og denne er
skræddersyet til at fodre en computer med.
Påstand 1.7. Lad kædebrøken for et reelt tal være givet ved
q 0 +
1
q 1 +
1
q 2 +
1
q 3 +
q 1
4 +···
hvor alle q i ∈ Z, og skriv den n’te konvergent K n på formen
K n = A n
B n
.
Sætter vi A −2 = 0, A −1 = 1, B −2 = 1 og B −1 = 0, så gælder følgende
formler:
A n = q n A n−1 + A n−2 og B n = q n B n−1 + B n−2 .
,
6

Opgave 7. Tjek formlerne (op til et vist trin) i påstanden ovenfor i tilfældet
med √ 2.
Lad os prøve at kigge på kædebrøken for tallet √ 5. Det overlades til
læseren som en øvelse at tjekke, at
√ 1
5 = 2 +
1
4 +
4+
1
4+
4+···
1
For at beregne konvergenterne hørende til kædebrøken, kan det være rart
at stille tallene, der indgår i beregningerne, op i et skema.
n −2 −1 0 1 2 3 4 5
q n 2 4 4 4 4 4
A n 0 1 2 9 38 161 682 2889
B n 1 0 1 4 17 72 305 1292
Kædebrøker har stor anvendelse inden for løsningen af såkaldte diofantiske
ligninger. Det vil sige ligninger, hvor man kræver, at løsningerne skal
være hele tal. Her er et eksempel:
x 2 − 5y 2 = 1.
Kan du finde hele tal, x og y, som opfylder ligningen Naturligvis opfylder
x = 1 og y = 0 ligningen, men er der andre Prøv dig eventuelt lidt frem
med x = A n og y = B n fra eksemplet med √ 5 ovenfor.
En kendt diofantisk ligning er
x 2 − 4729494 y 2 = 1,
der også kendes som Archimedes’ hævn. Oprindeligt stillede Archimedes en
opgave, som handlede om at finde ud af, hvor meget kvæg, der kunne græsse
på en bestemt græsk ø, hvis antallet af de forskellige typer kvæg opfyldte
en række ligninger. Det viser sig, at ligningerne kan reduceres til ligningen
ovenfor, men den er jo heller ikke lige til at løse ... med mindre man kender
til kædebrøker! Faktisk kan ligningen løses efter samme princip som ovenfor,
men det er nu rarest at have en computer til at lave beregningerne.
Den interesserede læser kan læse mere om Archimedes’ hævn (på engelsk
kaldet Archimedes’ cattle problem) på hjemmesiden
http://mathworld.wolfram.com/ArchimedesCattleProblem.html.
.
7