Eksamenssæt Calculus 1 (pdf) - Aarhus Universitet

Aarhus Universitet. Naturvidenskabelig Bacheloruddannelse.
Test i Calculus 1. 6/7. oktober 2009.
Til besvarelse i 60 minutter. Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladte.
Vejledning:
• Navn, studium, øvelseshold og studienummer udfyldes
• Opgaverne besvares
• Svarene overføres til forsiden med et tal for hvert svar
Navn:
Studium:
Øvelseshold:
Studienummer:
Svar:
opg.1 opg.2 opg.3 opg.4 opg.5 opg.6 opg.7 opg.8 opg.9 opg.10 opg.11 opg.12
Test:
1046

Opgave 1. En funktion er givet ved f(x, y) = g(x)+h(y), hvor g(x) og h(y) er kontinuerte funktioner.
Er grænseværdien
lim xyf(x, y)
(x,y)→(1,−1)
(1) 0, (2) g(1) + h(−1) eller (3) −f(1, −1)
Afkryds den rigtige:
1 2 3
⎛
Opgave 2. Lad A = ⎝
⎞
1 0 1
0 t 0 ⎠. Hvad er indgang (2, 3) (anden række, tredje søjle) i matrixpo-
1 0 t 3
tensen A 2 :
(1) 1, (2) t 2 , (3) t eller (4) 0
Afkryds den rigtige:
1 2 3 4
Opgave 3. Den partielle afledede f x = 4x 3 y kommer fra funktionen:
(1) f = 4x 3 y. (2) f = x 4 y + 2x. (3) f = x 4 y + y 2 . (4) f = 12x 2 y.
Afkryds den rigtige påstand:
1 2 3 4
Opgave 4. Et punkt i planen med polære koordinater (2, −π) har rektangulære koordinater:
(1) (−2, 0). (2) (2, 0). (3) (x, 2), 0 < x. (4) (x, y), 2 < x.
Afkryds den korrekte:
1 2 3 4
Fortsættes!

( )
0 1 1
Opgave 5. Matricen
repræsenterer den lineære afbildning:
1 0 0
(1) f(x, y) = (y, x, x + y), (2) f(x, y, z) = (y + z, x) eller (3) f(x, y, z) = (x + y, x + z).
Afkryds den rigtige:
1 2 3
Opgave 6. Differentialet af en funktion f er
df(x, y) = −y sin(xy) dx − x sin(xy) dy.
Den dobbelt partielle afledede er:
(1) f xy = −xy sin xy, (2) f xx = y 2 sin xy eller (3) f yy = −x 2 cos xy
Afkryds den rigtige:
1 2 3
Opgave 7. Ethvert homogent lineært ligningssystem har altid en løsning
(1) Ja. (2) Nej.
Afkryds det korrekte:
1 2
Opgave 8. Lineariseringen af funktionen f(x, y) = 3 + x 2 + xy + y 2 i punktet (1, 1) er givet ved:
(1) L(x, y) = 3 + x 2 − y. (2) L(x, y) = 3. (3) L(x, y) = 6 + 3(x − 1) + 3(y − 1).
(4) L(x, y) = 2(x − 1) − y.
Afkryds den rigtige:
1 2 3 4
Fortsættes!

Opgave 9. Givet funktionen z = − ln y , hvor x(t), y(t) > 0 er differentiable funktioner. Den afledede
x
er:
(1) dz = dt ln(x(t)y(t))x′ (t)y ′ (t). (2) dz = dt (x(t)y(t))−1 x ′ (t)y ′ (t).
(3) dz = dt x(t)−1 x ′ (t) − y(t) −1 y ′ (t).
Afkryds den rigtige:
1 2 3
Opgave 10. En vilkårlig 4 × 3 matrix kan ved rækkeoperationer:
(1) Føres over i identitetsmatricen. (2) Føres over i en diagonalmatrix.
(3) Føres over i en matrix med mindst én nulrække.
Afkryds det korrekte:
1 2 3
Opgave 11. Der er givet en tabel over funktionsværdierne for en funktion f(x, y).
Bedøm hvilken påstand der er rimelig:
(1) f x (22, 22) ≈ 0.
(2) f y (21, 22) < 0.
y\x 20 21 22 23
20 8 9 10 11
21 9 10 11 12
22 11 11 11 11
23 11 12 12 13
Afkryds:
1 2
⎛
Opgave 12. Betragt matricen A = ⎝
0 1 1
1 0 1
1 1 0
|A + I| = 0. (2) |A| = 0. (3) |A − I| = 0.
⎞
⎠ og 3 ×3 identitets matricen I. Er determinanten (1)
Afkryds det korrekte:
1 2 3
Husk at udfylde forsiden!