Slides - Institut for Matematik - Aarhus Universitet

En introduktion til tropisk geometriAnders Nedergaard JensenInstitut for Matematik,Aarhus UniversitetMatematiklærerdag,Aarhus, 30. Marts 2012

Tropisk geometri◮ Ordet “tropisk” er en reference til den brasilianske datalogog matematiker Imre Simons (1943-2009) arbejde medmax-plus algebraen.◮ Arxiv.org: >250 artikler om tropisk geometri det sidste årti.◮ Mange handler om tropisk algebraisk geometri.◮ Idé: gøre geometriske objekter kombinatoriske:Tropikalisering−→

Den tropiske semiringI den tropiske semiring (R∪{−∞},⊕,⊙) er operationerne⊕ maksimum⊙ sum◮ 3⊕2 = 3◮ 5⊙3 = 8Den distributive lov gælder:5⊙(3⊕2) = 8 and 5⊙3⊕5⊙2 = 8−∞ er additivt neutralelement.Der er ingen additive inverser.

Additions- og multiplikationstabeller er lette at huske:⊕ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 1 2 3 42 2 2 2 3 43 3 3 3 3 44 4 4 4 4 4⊙ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 52 2 3 4 5 63 3 4 5 6 74 4 5 6 7 8Det er også let at regne:Tropisk krokodille(a⊕b) ⊙n = a ⊙n ⊕ b ⊙n

Eksempel: Maksimal parring i to-delt graf◮ 4 huskøbere og 4 villaer◮ Hver huskøber har sine præferencer.◮ Hvordan optimerer vi “tilfredsheden”?HuskøbereMaksimal tilfredshed= tropdet⎜⎝1214312233424 45⎛Villaer−∞ 3 1 −∞4 −∞ −∞ −∞−∞ 2 −∞ 4−∞ −∞ 2 5Theorem (Kuhn (1955), Munkres (1957), Jacobi (1890))En maksimal parring kan beregnes i polynomiel tid.⎞⎟⎠

Et tropisk andengradspolynomium(A⊙x ⊙2 )⊕(B ⊙ x)⊕(C) = max(2x + A, x + B, C)Hvis A = −2, B = 0, C = 1:(−2⊙x ⊙2 )⊕(0⊙x)⊕(1) = max(2x − 2, x, 1)Hvordan skal vi definere de to rødder?

Tropiske nulpunkterDefinitionLad f være et tropisk polynomium (i en eller flere variable).Et punkt x kaldes et nulpunkt for f hvis maksimum af termerne if antages mindst to gange.ExampleI eksemplet fra før:f(x) = (−2⊙x ⊙2 )⊕(0⊙x)⊕(1) = max(2x − 2, x, 1)er x = 1 og x = 2 eneste nulpunkter:◮ f(1) = max(0, 1, 1) = 1◮ f(2) = max(2, 2, 1) = 2Punktet x = 3/2 er ikke et nulpunkt:◮ f(3/2) = max(1, 3/2, 1) = 3/2

Flere variable: linier i planenPolynomiet a⊙x ⊕ b ⊙ y ⊕ c har grafenf(x,y)yxMængden af punkter (x, y) ∈ R 2 hvor maksimum antagesmindst to gange består af tre halv-linier, der mødes i et centermed koordinater (c − a, c − b).De tre halvlinier går i retning syd,vest og nord-øst.

Skæringspunkter for tropiske linierTo generiske tropiske linier i planen skærer hinanden i netop étpunkt.Givet to generiske punkter p 1 , p 2 i planen findes netop éntropisk linie L så p 1 , p 2 ∈ L.

Et polynomium f af højere grad(A⊙x ⊙2 )⊕(B ⊙ x ⊙ y)⊕(C ⊙ y ⊙2 )⊕(D ⊙ x)⊕(E ⊙ y)⊕FHver term har en eksponentvektor. Eksempel: x ⊙2 ↦→ (2, 0).Newton polytopen New(f) er det konvekse hylster af disse:Til højre er eksponentvektorerne løftet til højder A, B, C, D, E, F .For at evaluere f i (x, y), prikker vi (x, y, 1) med de løftedeeksponentvektorer og tager maksimum.Løftet (A, B, C, D, E, F) inducerer en underindeling af New(f).

Et polynomium f af højere grad(A⊙x ⊙2 )⊕(B ⊙ x ⊙ y)⊕(C ⊙ y ⊙2 )⊕(D ⊙ x)⊕(E ⊙ y)⊕FFor valg (A, B, C, D, E, F) = (−1, 0,−1, 2, 2, 3) får vi kurven:−12032−1Den inducerede underindeling af Newton polytopen til højre erkombinatorisk dual til den tropiske kurve.

Snittet af en andengradskurve og en linieEn generisk linie snitter andengradskurven i netop to punkter:Dog kun hvis vi tæller med multiplicitet:22

Snittet af en andengradskurve og en linieGivet tropiske polynomier f 1 og f 2 med Newton polytoper P 1 ogP 2 , og tilsvarende løft ˜P 1 og ˜P 2 , vil de øvre sider af summen˜P 1 + ˜P 2 give en underindeling af P 1 + P 2 .22◮ En øvre side i ˜P 1 + ˜P 2 giver et polyeder i figuren C 1 ∪ C 2 .◮ Punkterne i C 1 ∩ C 2 svarer til paralellogrammer, som ersum af en kant fra P 1 og en fra P 2 .◮ Snitpunktets multiplicitet defineres som arealet afparalellogrammet.◮ Summen af multipliciteterne for alle snitpunkter erMixVol(P 1 , P 2 ) := Areal(P 1 + P 2 )−Areal(P 1 )−Areal(P 2 )

Generelt om mixed volumeSummen af to konvekse mængderP 1 + P 2 := {p 1 + p 2 : p 1 ∈ P 1 , p 2 ∈ P 2 }er konveks. Det samme er skaleringen med λ 1 ∈ R:λ 1 P 1 := {λ 1 p 1 : p 1 ∈ P 1 }DefinitionLad P 1 , P 2 ,...,P n ⊆ R n være konvekse mængder. Funktionenf : R n → R(λ 1 ,...,λ n ) ↦→ Volume(λ 1 P 1 +...λ n P n )er et polynomium i variablerne λ 1 ,...,λ n . Koefficienten forλ 1···λ n kaldes mixed volume af P 1 ,...,P n .

Bernsteins Sætning (1975)Lad f 1 ,...,f n være polynomier i x 1 ,...,x n med koefficienter i C.Et punkt (y 1 ,...,y n ) ∈ (C\{0}) n kaldes en fælles rod hvis∀i : f i (y) = 0.◮ Hvis koefficienterne er generiske er antallet af fællesrødder lig MixedVol(P 1 ,...,P n ) (talt med multiplicitet).◮ Antallet af isolerede rødder er altid ≤ MixedVol(P 1 ,...,P n ).Vi har set at Bernsteins sætning holder tropisk.“Polyhedral homotopy” er en moderne metode til at findeapproksimative løsninger til f 1 = 0,...,f n = 0:◮ Beregn “mixed cells”.◮ Find løsninger for hver “mixed cell” med numeriskemetoder.

Tropiske hyperflader i højere dimension

Tropisk geometri VS algebraisk geometriEr det et tilfælde at mange klassiske sætninger holder tropisk?DefinitionEn Puiseux række i t er en potensrække af formp = c 1 t d 1+ c 2 t d 2+ c 3 t d 3+···hvor c i ∈ C\{0}, d i ∈ Q, d 1 < d 2 < ··· og d i ’erne har en fællesnævner. Definér val(p) = d 1 .Theorem (Newton-Puiseux)C{{t}} er et algebraisk lukket legeme.Theorem (Kapranov)Et polynomium f ∈ C[x 1 ,...,x n ] definerer en hyperfladeV(f) := {x ∈ (C{{t}\{0}) n : f(x) = 0}hvis billede under −val : (C{{t}\{0}) n → Q n erT(trop(f))∩Q n .

Eksempel: løftning af punkt paa en tropisk linieBetragt:f = x + y + 1trop(f) = x ⊕ y ⊕ 0Tre eksempler på løsninger til f = 0:◮ (t −1 +...,−t −1 +...) ↦→ (1, 1)◮ (−1+...,t 1 +...) ↦→ (0,−1)◮ (t 1 +...,−1+...) ↦→ (−1, 0)

Den tropiske skyggeEn mængde polynomier I ⊆ C[x 1 ,...,x n ] definerer enløsningsmængde/varietetV(I) := {x ∈ (C{{t}\{0}) n : ∀f ∈ I : f(x) = 0}.DefinitionDen tropiske varietet af I er T(I) := −val(V(I)).Theorem (Bieri Groves, 1984)◮ T(I) er en endelig forening af polyhedraelle kegler.◮ T(I) har samme dimension som V(I).

Dekomposition og beregningKlassisk gaelder (hvis I og J er idealer):◮ V(I)∩V(J) = V(I + J)◮ V(I)∪V(J) = V(I ∩ J)Heraf følger:◮ T(I)∩T(J) = T(I + J)◮ T(I)∪T(J) = T(I ∩ J)Man kan beregne T(I) med algebraiske metoder.En tilnærmelse fåes ved:f ∈ I⇒ T(I) ⊆ T(〈f〉)daT(I)∩T(〈f〉) = T(I +〈f〉) = T(I).

Anvendelse: Smales 6. problem - himmelmekanikGivet n legemer i rummet med masser m 1 ,...,m n opfyldendeNewton’s love, er der kun endeligt mange relative ækvilibria(optil rotation og skalering)?Et relativt ækvilibrium er en 2-dimensional konfiguration afpunktmasserne som bevares (rotation tilladt).Example11111Med tropisk geometri viste Hampton and Moeckel (2006) atsvaret er “ja” for n = 4.

Smales 6. problem for n=4Fire parametre m 1 , m 2 , m 3 , m 4 ∈ R >0 (masser).Seks variable r 12 , r 13 , r 14 , r 23 , r 24 , r 34 (indbyrdes afstande).Et relativt ækvilibrium må opfylde 6 Albouy-Chenciner ligningerm 4 r 12 r 3 13r 3 23r 5 24 − m 4 r 12 r 3 13r 2 14r 3 23r 3 24 − m 4 r 12 r 3 13r 3 14r 3 23r 2 24 + m 4 r 12 r 3 13r 5 14r 3 23 −m 4 r 3 12r 3 13r 3 23r 3 24 − m 4 r 3 12r 3 13r 3 14r 3 23 + 2m 4 r 3 12r 3 13r 3 14r 3 23r 3 24 + m 3 r 12 r 3 14r 5 23r 3 24 −m 3 r 12 r 2 13r 3 14r 3 23r 3 24 − m 3 r 12 r 3 13r 3 14r 2 23r 3 24 + m 3 r 12 r 5 13r 3 14r 3 24 − m 3 r 3 12r 3 14r 3 23r 3 24 −m 3 r 3 12r 3 13r 3 14r 3 24 + 2m 3 r 3 12r 3 13r 3 14r 3 23r 3 24 − 2m 2 r 3 13r 3 14r 3 23r 3 24 + 2m 2 r 3 12r 3 13r 3 14r 3 23r 3 24 −2m 1 r 3 13r 3 14r 3 23r 3 24 + 2m 1 r 3 12r 3 13r 3 14r 3 23r 3 24 = 0og tre Dziobek ligninger:r 3 13r 3 24 − r 3 13r 3 24r 3 34 − r 3 12r 3 34 + r 3 12r 3 24r 3 34 + r 3 12r 3 13r 3 34 − r 3 12r 3 13r 3 24 = 0Big Minkowski: Modulo symmetri består snittet af disses 9tropiske hyperflader af 21 kegler.Hampton og Moeckel: kun en af disse, nemlig origo, er i dentropiske varietet.⇒ dimension = 0 ⇒ |V(I)| < ∞

Den tropiske polytopsemiringFasthold n og betragt mængden Σ af alle begrænsedepolyedrer i R n . Σ er en semiring med egenskaber:◮ P ⊕ Q := conv(P ∪ Q)◮ P ⊙ Q := P + Q = {p + q : p ∈ P and q ∈ Q}Example⊙( ⊕ ) = ⊙ = =⊕ = ⊙ ⊕ ⊙Har anvendelser i algebraisk statistik. F.eks. til “parametricsequence alignment” af DNA strenge.

LitteraturMens vi venter på en lærebog.....◮ Richter-Gebert, Sturmfels, Theobald (2003):“First Steps in Tropical Geometry”◮ Pachter, Sturmfels (2005):“Algebraic Statistics for Computational Biology”◮ Arxiv.orgMaclagan og Sturmfels arbejder på:http://homepages.warwick.ac.uk/staff/D.Maclagan/papers/TropicalBook.pdf