"Euklids algoritme og kædebrøker" (pdf)

som fortsætter i det uendelige. Dette giver ikke umiddelbart mening! Det er
blot en notation, som skal antyde proceduren.
Lad os prøve at kigge lidt på konvergenterne:
1, 1 + 1 2 , 1 + 1
2 + 1 , 1 +
2
Skrevet lidt pænere er disse
1,
1
2 + 1 , 1 +
2+ 1 2
3
2 , 7
5 , 17
12 , 41
29 , . . . .
1
2 + 1
2+ 1
2+ 1 2
, . . . .
Det bemærkelsesværdige er, at konvergenterne nærmer sig √ 2. Prøv eventuelt
at bruge en lommeregner.
Dette er ikke tilfældigt! Faktisk gælder der følgende sætning, hvis bevis
vi udelader.
Sætning 1.6. Lad x ∈ R være et reelt tal, og skriv x som en kædebrøk
med konvergenter K i , hvor i ∈ Z ≥0 . Da gælder
lim K n = x.
n→∞
Man kan altså i følge ovenstående sætning benytte kædebrøker til at
finde rationale tilnærmelser til reelle tal. Desværre kan det dog være lidt
besværligt at beregne konvergenterne, da der skal sættes på fælles brøkstreg
et betragteligt antal gange. Heldigvis er der en lettere metode, og denne er
skræddersyet til at fodre en computer med.
Påstand 1.7. Lad kædebrøken for et reelt tal være givet ved
q 0 +
1
q 1 +
1
q 2 +
1
q 3 +
q 1
4 +···
hvor alle q i ∈ Z, og skriv den n’te konvergent K n på formen
K n = A n
B n
.
Sætter vi A −2 = 0, A −1 = 1, B −2 = 1 og B −1 = 0, så gælder følgende
formler:
A n = q n A n−1 + A n−2 og B n = q n B n−1 + B n−2 .
,
6