Eksamenssæt Calculus 2 (pdf) - Aarhus Universitet

Opgave 5. Betragt funktionerne f og g givet ved
f(x, y) = x + y, g(x, y) = 2x 2 + 3y 2 .
1) Beregn de partielle afledede af funktionerne f og g.
2) Opstil Lagrange ligningerne til bestemmelse af maksimum/minimum for
funktionen f under bibetingelsen g(x, y) = k.
3) Det oplyses, at f har et minimum og et maksimum under bibetingelsen
g(x, y) = 30. Bestem de punkter hvor ekstremum antages, og angiv de tilhørende
ekstremumsværdier.
Opgave 6. Betragt funktionen f(x) = ln x . Det oplyses, at de afledede for n > 0
2
er
f (n) (x) = (−1) n−1 (n − 1)!x −n .
1) Gør rede for, at potensrækken i (x − 2),
∞∑ (−1) n−1
(x − 2) n ,
n=1
n2 n
er Taylorrækken for funktionen f(x) omkring 2.
2) På intervallet ]0, 4[ er funktionen f(x) fremstillet ved potensrækken fra 1).
Benyt dette til at udregne en potensrække i (x − 2), der fremstiller funktionen 1 x
omkring 2.
3) Angiv ved benyttelse af 1) de første 4 led i en talrække til beregning af
ln 1.2 = f(2.4).
Opgave 7. Betragt differentialligningssystemet
y 1 ′ = 3y 1 + 2y 2
y 2 ′ = 6y 1 + 2y 2 .
Det oplyses, at tallene −1 og 6 er egenværdierne for systemets koefficientmatrix.
1) Beregn egenvektorerne for hver egenværdi.
2) Angiv løsningerne til differentialligningssystemet.
3) Bestem den løsning, der opfylder begyndelsesbetingelsen
(
y1 (0)
y 2 (0)
)
=
(
6
23
)
.
2