Matematik og modeller Blok 4 2012 Opgaver til Lineær algebra

• Af dem, der et vist år er i gruppe S 2 , rykker 12% op i gruppe S 1 og 8% ned i S 3 .• Af dem, der et vist år er i gruppe S 3 , rykker 8% op i gruppe S 2 og 15% ned i S 4 .• Af dem, der et vist år er i gruppe S 4 , rykker 6% op i gruppe S 3 .Kommunens indbyggertal er 42000 og det antages i denne opgave, at dette antal er konstant fra år tilår, idet der ses bort fra til- og fraflytning samt fødsel og død. Lad x t,i (i = 1, 2, 3, 4) betegne antallet afborgere i gruppe S i ved den årlige optælling i år t. Sæt⎛ ⎞x t,1x t = ⎜x t,2⎟⎝x t,3⎠ .x t,41. Angiv en 4 × 4 matrix A således, at forudsætningerne udtrykkes i modellen x t+1 = Ax t .2. Et år registrerede man 2900 indbyggere i S 1 , 4900 i S 2 og 12600 i S 3 . Hvormange indbyggere varder i hver af de fire socialgrupper året efter?3. Løs ligningssystemet (A − E)x = 0 ved at opskrive totalmatricen og udføre følgende rækkeoperationer:læg første, anden og tredje række til fjerde række. Bestem herefter løsningerne x tilligningssystemet. Hvilken egenværdi for A er hermed blevet bestemt?Fortolk en tilhørende egenvektor som en “stabil” fordeling mellem socialgrupperne og bestemdenne fordeling ved at bruge det konstante indbyggertal i kommunen.Opgave S.1.40LadBestem grænseværdien lim t→∞ y t /x t .(xt)=y t(3 54 2) t (1000).Opgave S.1.41Et opinionsinstitut spørger ved regelmæssige undersøgelser den samme gruppe mennesker, i alt 1700personer, om de er tilhængere af et bestemt fænomen. De mulige svar er JA, NEJ og VED IKKE. Følgendemønster har vist sig:• Blandt dem, der ved en vis undersøgelse svarer JA, vil ca. 60% også svare JA ved næste undersøgelse,mens resten fordeler sig ligeligt på NEJ og VED IKKE.• Blandt dem, der ved en vis undersøgelse svarer VED IKKE, vil ca. 40% svare det samme næstegang, lige så mange svarer NEJ, og resten, ca. 20%, svarer JA.• Blandt dem, der ved en vis undersøgelse svarer NEJ, vil ca. 80% svare det samme næste gang,mens resten fordeler sig ligeligt på JA og VED IKKE.Lad x t,1 , x t,2 og x t,3 betegne antallene af hhv. JA, VED IKKE og NEJ ved den t’te undersøgelse og sæt⎛x t = ⎝ x ⎞t,1x t,2⎠ .x t,31. Bestem 3 × 3 matricen A således, at det beskrevne mønster udtrykkes i modellen x t+1 = Ax t .Ved den første undersøgelse var der 800 JA-svar og 600 NEJ-svar, mens de resterende svarede VEDIKKE.2. Bestem startvektoren x 0 og beregn (gerne vha. R) vektorerne x t for t = 1, . . . 6.3. Gør rede for at x t konvergerer mod en “grænsevektor” og bestem denne. (Dette betyder, at undersøgelsernestabiliseres mere og mere.)