Matematik og modeller Blok 4 2012 Opgaver til Lineær algebra

10 enheder R 1 , 30 enheder R 2 , 5 enheder R 3 og 20 enheder R 5 . Til hver enhed P 2 bruges 10 enheder R 1 ,20 enheder R 2 , 5 enheder R 4 og 10 enheder R 5 . En enhed P 3 er sammenbygget af en enhed af produktetP 1 og en enhed af produktet P 2 ; dog medgår ved samlingen 5 ekstra enheder af råvarerne R 3 og R 4 .1. Antag, at der produceres x j enheder P j (for j = 1, 2, 3) og bruges i alt y i enheder R i (for i =1, 2, 3, 4, 5).⎛ ⎞⎛x = ⎝ x ⎞y 11y 2x 2⎠ og y =⎜y 3⎟x 3⎝y 4⎠ .y 5Bestem 5 × 3 matricen A således, at der gælder y = Ax.2. I en periode er der brugt 4300 enheder R 1 , 11500 enheder R 2 og 1600 enheder R 3 . Hvor meget erder brugt af R 4 og af R 5 ?Opgave S.1.12 ProduktionsplanlægningTo kemiske produktionsenheder P og Q fremstiller begge hovedproduktet H, biprodukter U og V, samtspildproduktet W. Produktionen af de fire stoffer er, angivet i kg pr. time:H U V WP 1800 150 100 150Q 1200 150 200 50Enhed Q kan kun arbejde, når P er i gang. Man lade begge enheder arbejde i x 1 timer samt lader Parbejde alene i yderligere x 2 timer (x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0), hvorved der fremstilles i alt y 1 , y 2 , y 3 og y 4 kg afhhv. H, U, V og W. Sæt⎛ ⎞( )y 1x1x = og y = ⎜y 2⎟x 2⎝y 3⎠ .y 41. Bestem 4 × 2 matricen A, således at der gælder y = Ax.2. Vis, at x kan vælges således, at der fremstilles netop 240000 kg H, 22200 kg U og 19200 kg V. Hvorstor er spildproduktionen i dette tilfælde?3. Produktionen sælges til tre kunder K 1 , K 2 og K 3 . Heraf køber K 1 halvdelen af det producerede Hfor 20 kr pr. kg, K 2 køber resten af det producerede H for 16 kr pr. kg samt hele U-produktionenfor 30 kr pr. kg, og K 3 køber hele V-produktionen for 40 kr pr. kg, samtidig med, at han mod enbetaling på 10 kr pr. kg fjerner den fremkomne spildproduktion W.Lad z i være producentens indtægt i kr fra K i (i = 1, 2, 3) og sæt⎛z = ⎝ z ⎞1z 2⎠ .z 3Bestem 3 × 4 matricen B samt 3 × 2 matricen C, således atz = By og z = Cx.Opgave S.1.13 SpildevandEn kemisk fabrik har tre afdelinger, A 1 , A 2 og A 3 , der udleder spildevand til sammme recipient. Spildevandetsindhold af fire forurenende stoffer A, B, C og D er, angivet i gram udledt pr. time:A B C Dspildevand fra A 1 10 40 5 1spildevand fra A 2 30 30 0 2spildevand fra A 3a 10 0 5 2spildevand fra A 3b 0 15 0 2spildevand fra A 3c 0 15 0 2