Matematik og modeller Blok 4 2012 Opgaver til Lineær algebra

2. Bestem egenværdier og egenvektorer for B vha. R ved at bruge funktionen eigen(). Kontroller, ategenværdierne er de samme som du fandt tidligere.Opgave S.1.37LadA =(2 22 5).1. Bestem alle egenværdier og egenvektorer for A.2. Bestem en matrix Q sådan at D = Q −1 AQ er en diagonalmatrix.3. Udtryk vha. D matricerne Q −1 A 2 Q samt Q −1 A −1 Q (hvor Q og D er matricerne fra spørgsmåletoven for). [Vink: regn med “bogstaverne” A og Q.]4. Bestem en ortogonal matrix Q sådan at Q T AQ er en diagonalmatrix.Opgave S.1.38Lad1. Vis, at⎛A = ⎝0 −2 −15 −7 −5−8 8 7q 1 =⎛⎝ 1 01er en egenvektor for A og angiv den tilhørende egenværdi λ 1 .2. Vis, at λ 2 = −2 er en egenværdi for A og bestem en tilhørende egenvektor q 2 .⎞⎠⎞⎠ .3. Det oplyses, at A har en egenvektor af formen⎛q 3 = ⎝0 −1a⎞⎠ ,hvor a ∈ R. Bestem a samt egenværdien λ 3 hørende til q 3 .4. Lad nu Q være matricen med q 1 , q 2 og q 3 som hhv. første, anden og tredje søjle. Angiv (udenudregninger) matricen Q −1 AQ.5. [sværere spørgsmål] Lad Q være som før. Bestem et udtryk for matricen Q −1 A k Q for vilkårligtk ≥ 1. Benyt dette til at bestemme grænseværdienhvorlimk→∞13 k Ak Qv,⎛⎞v =⎝ 7 913⎠ .Opgave S.1.39 SocialgrupperEn kommune indplacerer hvert år borgerne i fire socialgrupper, betegnet S 1 , S 2 , S 3 og S 4 , fra højeste tillaveste gruppe. Bevægelser mellem de frie grupper har vist sig at følge dette mønster:• Ingen borger rykker mere end én gruppe op eller ned fra et år til det næste.• Af dem, der et vist år er i gruppe S 1 , rykker 16% næste år ned i gruppe S 2 .