Matematik og modeller Blok 4 2012 Opgaver til Lineær algebra

More documents

Recommendations

Info

• Af dem, der et vist år er i gruppe S 2 , rykker 12% op i gruppe S 1 og 8% ned i S 3 .• Af dem, der et vist år er i gruppe S 3 , rykker 8% op i gruppe S 2 og 15% ned i S 4 .• Af dem, der et vist år er i gruppe S 4 , rykker 6% op i gruppe S 3 .Kommunens indbyggertal er 42000 og det antages i denne opgave, at dette antal er konstant fra år tilår, idet der ses bort fra til- og fraflytning samt fødsel og død. Lad x t,i (i = 1, 2, 3, 4) betegne antallet afborgere i gruppe S i ved den årlige optælling i år t. Sæt⎛ ⎞x t,1x t = ⎜x t,2⎟⎝x t,3⎠ .x t,41. Angiv en 4 × 4 matrix A således, at forudsætningerne udtrykkes i modellen x t+1 = Ax t .2. Et år registrerede man 2900 indbyggere i S 1 , 4900 i S 2 og 12600 i S 3 . Hvormange indbyggere varder i hver af de fire socialgrupper året efter?3. Løs ligningssystemet (A − E)x = 0 ved at opskrive totalmatricen og udføre følgende rækkeoperationer:læg første, anden og tredje række til fjerde række. Bestem herefter løsningerne x tilligningssystemet. Hvilken egenværdi for A er hermed blevet bestemt?Fortolk en tilhørende egenvektor som en “stabil” fordeling mellem socialgrupperne og bestemdenne fordeling ved at bruge det konstante indbyggertal i kommunen.Opgave S.1.40LadBestem grænseværdien lim t→∞ y t /x t .(xt)=y t(3 54 2) t (1000).Opgave S.1.41Et opinionsinstitut spørger ved regelmæssige undersøgelser den samme gruppe mennesker, i alt 1700personer, om de er tilhængere af et bestemt fænomen. De mulige svar er JA, NEJ og VED IKKE. Følgendemønster har vist sig:• Blandt dem, der ved en vis undersøgelse svarer JA, vil ca. 60% også svare JA ved næste undersøgelse,mens resten fordeler sig ligeligt på NEJ og VED IKKE.• Blandt dem, der ved en vis undersøgelse svarer VED IKKE, vil ca. 40% svare det samme næstegang, lige så mange svarer NEJ, og resten, ca. 20%, svarer JA.• Blandt dem, der ved en vis undersøgelse svarer NEJ, vil ca. 80% svare det samme næste gang,mens resten fordeler sig ligeligt på JA og VED IKKE.Lad x t,1 , x t,2 og x t,3 betegne antallene af hhv. JA, VED IKKE og NEJ ved den t’te undersøgelse og sæt⎛x t = ⎝ x ⎞t,1x t,2⎠ .x t,31. Bestem 3 × 3 matricen A således, at det beskrevne mønster udtrykkes i modellen x t+1 = Ax t .Ved den første undersøgelse var der 800 JA-svar og 600 NEJ-svar, mens de resterende svarede VEDIKKE.2. Bestem startvektoren x 0 og beregn (gerne vha. R) vektorerne x t for t = 1, . . . 6.3. Gør rede for at x t konvergerer mod en “grænsevektor” og bestem denne. (Dette betyder, at undersøgelsernestabiliseres mere og mere.)
Opgave S.1.42 InsektpopulationVi betragter hunnerne i en population af 1-årige insekter. Hunnerne kan være frugtbare eller golde. Enundersøgelse har vist, at de kan opdeles i to grupper, A og B, som belaster miljøet forskelligt. Goldehunner er altid i gruppe B. Frugtbare hunner får i gennemsnit 2.6 hun-unger, hvoraf nogle dog vil væregolde. Når man opdeler de frugtbare hunner i A og B, viser følgende formeringsmønster sig:Hunner i gruppe A får i gennemsnit 0.8 hun-unger, som går til gruppe A, og 1.8 hun-unger, som gårtil gruppe B. Af de sidstnævnte vil 1.0 være frugtbare og 0.8 være golde. Frugtbare hunner i gruppeB får igennemsnit 0.6 hun-unger, som går til gruppe A, og 2.0 hun-unger, som går til gruppe B. Af desidstnævnte vil 0.1 være frugtbare, mens hovedparten, 1.9, er golde.Lad x t , y t og z t betegne antal hunner i år t i hhv. gruppe A, frugtbare i gruppe B og golde i gruppe B.Sæt⎛v t = ⎝ x ⎞ty t⎠ .z t1. Bestem 3 × 3 matricen M, således at der gælderv t+1 = Mv t .2. Bestem den dominerende egenværdi for M samt en tilhørende egenvektor.3. Hvorledes kan den relative fordeling mellem gruppe A og gruppe B af populationen forventes atvære, når der er gået lang tid?Opgave S.1.43Lad⎛P = ⎝1/2 1/3 5/61/3 1/2 1/61/6 1/6 0⎞⎛⎠ og lad v 0 = ⎝ 70000⎞⎠ .1. Bestem, gerne vha R, vektorerne v 1 , · · · , v 10 , hvor v t+1 = Pv t for t ≥ 0.2. Kontroller (gerne vha R), at λ 1 = 1, λ 2 = 1/6 og λ 3 = −1/6 er egenværdier for P. Angiv tilhørendeegenvektorer q 1 , q 2 og q 3 (gerne vha R).3. Bestem c ∈ R sådan at P k v 0 → cq 1 for k → ∞, hvor q 1 er den vektor der er angivet i svaretovenfor.Opgave S.1.44Bevis, at en vilkårlig overgangsmatrix har egenværdien 1. [Vink: søg inspiration i sidste del af OpgaveS.1.39.]Opgave S.1.45Betragt den symmetriske matrixA =⎛⎝ 0 2 2 ⎞2 1 0 ⎠ .2 0 −11. Find alle egenværdier og egenvektorer for A.2. Opstil en ortogonal matrix Q sådan at D = Q T AQ er en diagonalmatrix, og angiv D.3. Lad⎛b = ⎝ 2/3 ⎞ ⎛2/3⎠ , c = ⎝ 1/3 ⎞0 ⎠ .1/31/3Udregn A 5 b og A 6 c.
Page 1 and 2: Matematik og modeller Blok 4 2012Op
Page 3 and 4: 10 enheder R 1 , 30 enheder R 2 , 5
Page 5 and 6: ikke har nogen løsninger.Opgave S.
Page 7 and 8: 1. Bestem den vektor i R 3 , der ha
Page 9: 2. Bestem egenværdier og egenvekto
Page 13: Vis, at tallet 196 går op i det A.

Matematik og modeller Blok 4 2012 Opgaver til Lineær algebra

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?