Matematik og modeller Blok 4 2012 Opgaver til Lineær algebra

More documents

Recommendations

Info

hvor det underforstås, at A 3 består af tre underafdelinger A 3a , A 3b og A 3c , som er i drift samtidig.Antag, at A 1 , A 2 og A 3 er i drift hhv. x 1 , x 2 og x 3 timer pr. døgn, hvorved der i alt udledes y 1 , y 2 , y 3 ogy 4 gram pr. døgn af stofferne A,B,C og D. Sæt⎛ ⎞⎛x = ⎝ x ⎞y 11x 2⎠ og y = ⎜y 2⎟⎝y x 3⎠ .3y 41. Bestem 4 × 3 matricen A således, at der gælder y = Ax.2. Myndighederne har pålagt fabrikken, at den højst må udlede 800 g A, 1200 g B, 75 g C og 55 g Dpr. døgn. Fabrikken ønsker at lade alle tre afdelinger være i drift netop så mange timer pr. døgn,at grænserne for B, C og D alle nåes, men ikke overskrides. Vis, at dette er muligt, og at grænsenfor A heller ikke overskrides. Driftsplanen får en ret drastisk konsekvens for en af afdelingerne –hvilken?Opgave S.1.14 Visuel artsbestemmelseI et skovdistrikt vil man estimere antal dyr i bestandene af tre vildtarter A, B og C, der minder omhinanden. Dyrene færdes enkeltvis, og skovpersonalet opnoterer gennem en vis periode, hvad de vedhvert enkelt møde skønner, er et eksemplar af hhv. A, B og C.Denne visuelle bestemmelse er forbundet med usikkerhed. Fra tidligere undersøgelser sammenholdtmed mere sikre optællinger har man konstateret følgende mønster:• Et A-dyr vil i 15% af tilfældene blive registreret som B, i 10% tilfældene som C, mens det i restenaf tilfældene registreres korrekt som A.• Et B-dyr vil i 15% af tilfældene blive registreret som A, i 5% tilfældene som C, mens det i resten aftilfældene registreres korrekt som B.• Et C-dyr vil i 5% af tilfældene blive registreret som A, i 5% tilfældene som B, mens det i resten aftilfældene registreres korrekt som C.Undersøgelsen fortsætter, til der i alt er registreret 400 møder med dyr. Disse antages repræsentative forden smalede bestand, dvs. brøkdelene af de tre arter blandt de 400 registrerede er de samme som dem,de optræder med totalt.Lad x 1 være det sande antal møder med dyr af arten A, blandt de 400 møder, mens y 1 er det registreredeantal A-møder. Lad x 2 og y 2 være de tilsvarende antal for B, samt x 3 og y 3 de tilsvarende antal for C.1. Bestem 3 × 3 matricen A, således at der gælderhvory = Ax,⎛x = ⎝ x ⎞⎛1x 2⎠ og y = ⎝ y ⎞1y 2⎠ .x 3 y 32. Iflg. det oplyste bør der gælde x 1 + x 2 + x 3 = 400 og y 1 + y 2 + y 3 = 400. Vis, ved at bruge y = Ax,at x 1 + x 2 + x 3 = 400 medfører y 1 + y 2 + y 3 = 400.3. Der er registreret 210 A-møder, 122 B-møder og 68 C-møder. Ad anden vej har man anslået densamlede bestand i distriktet, dvs. summen af antallene af de tre arter, til at være 8400. Beregn skønfor de sande antal af hver af de tre arter. (Facit afrundes til hele multipla af 100.)Opgave S.1.15Vis at ligningssystemetx 1 + x 2 = 22x 1 + 3x 2 + x 3 = 7−x 1 + x 3 = 23x 1 + 6x 2 + 3x 3 = 17
ikke har nogen løsninger.Opgave S.1.16Vis at ligningssystemethar den entydige løsning (x 1 , x 2 , x 3 ) = (3, 3, −1).Opgave S.1.17Løs ligningssystemetfor a = 5 og a = 6.x 1 + x 3 = 22x 1 + x 2 + 2x 3 = 7−x 1 + x 2 − 2x 3 = 23x 1 + 3x 2 + x 3 = 175x 2 − 2x 3 = 22x 1 + x 2 + 5x 3 = 1x 1 + x 2 = 33x 1 + 7x 2 + 3x 3 = aOpgave S.1.18Bestem tallene x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 så følgende kemiske reaktion bliver afstemt:x 1 HgI −−4+ x 2 OH − + x 3 NH 3 → x 4 Hg 2NI + x 5 I − + x 6 H 2 O.Opgave S.1.19Løs ligningssystemetx 1 + x 3 − x 5 = 52x 1 − x 2 + 3x 4 = 6.Opgave S.1.20Givet vektorerne⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛1 0 0 0 01a 1 =⎜1⎟⎝1⎠ , a 12 =⎜1⎟⎝1⎠ , a 03 =⎜1⎟⎝1⎠ , a 04 =⎜0⎟⎝1⎠ , a 05 =⎜0⎟⎝0⎠ og b = ⎜⎝1 1 1 1 1Skriv b som en linearkombination af a 1 , a 2 , a 3 , a 4 og a 5 .Opgave S.1.21Undersøg i hvert af følgende tilfælde, om vektorerne udgør et lineært uafhængigt sæt.( (1 21. ,3)−5)2.3.( (1 2, ,3)−5)( ( )1 −5,3)−15( )−167305−4⎞⎟⎠ .
Page 1 and 2: Matematik og modeller Blok 4 2012Op
Page 3: 10 enheder R 1 , 30 enheder R 2 , 5
Page 7 and 8: 1. Bestem den vektor i R 3 , der ha
Page 9 and 10: 2. Bestem egenværdier og egenvekto
Page 11 and 12: Opgave S.1.42 InsektpopulationVi be
Page 13: Vis, at tallet 196 går op i det A.

Matematik og modeller Blok 4 2012 Opgaver til Lineær algebra

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?