Kurven und Flächen Sebastian Klein - Lehrstuhl für Mathematik III

Inhaltsverzeichnis
1 Der euklidische Raum 1
1.1 Der affine Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Affine Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Affine Unterräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Affine Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Differentialrechnung in einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Euklidische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7 Orientierung, Vierteldrehung und Kreuzprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8 Drehungen und orientierte Winkel in zwei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Grundlegendes über Kurven 15
2.1 Wege und ihre Länge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Kurven, Geschwindigkeit, und Parametrisierung nach der Bogenlänge . . . . . . 19
2.3 Differentiation nach der Bogenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Ebene Kurventheorie 25
3.1 Die Frenet-Gleichungen für ebene Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Der Hauptsatz der ebenen Kurventheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Taylorentwicklung ebener Kurven, Krümmungskreise . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Enveloppen, Evoluten, Parallelkurven und Involuten . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5 Die Umlaufzahl und der Jordansche Kurvensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.6 Die isoperimetrische Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.7 Der Vierscheitelsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
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