Kurven und Flächen Sebastian Klein - Lehrstuhl für Mathematik III

5.9. ANHANG: FLÄCHEN IN MEHR DIMENSIONEN 69
Folgerung. Es seien G ein Gebiet des IR 2 , F : G → IE 3 eine C 1 -Immersion, g der Maßtensor
von G und J die komplexe Struktur des Riemannschen Gebietes (G,g). Dann sind die folgenden
Aussagen paarweise äquivalent:
(a) F ist eine konforme Parametrisierung einer (singularitätenfreien) Fläche.
(b) Die Winkelmessung in dem Riemannschen Gebiet (G,g) stimmt an jeder Stelle von G mit
der kanonischen euklidischen Winkelmessung in G ⊂ IR 2 überein.
(c) Für jeden Punkt p ∈ G ist Jp die übliche euklidische Vierteldrehung.
Hieraus folgt: Zueinander konform äquivalente Riemannsche Gebiete stimmen als Riemannsche
Flächen überein.
5.9 Anhang: Flächen in mehr Dimensionen
Natürlich kann man analog zu den zwei-dimensionalen Flächen im IE 3 auch k-dimensionale
(mS-)Flächen in einem n-dimensionalen euklidischen Raum IE n definieren, nämlich als Äquivalenzklassen
von C r -Abbildungen F : G → IE n , wobei G jeweils ein Gebiet im IR k ist. Für jede
derartige Abbildung wird man wie in den Abschnitten 5.1 und 5.6 den Maßtensor
seine Komponenten
g : G → L 2 sym(IR k ,IR), p ↦−→ � gp : (u,v) ↦→ 〈dpF(u),dpF(v)〉 � ,
gij :=
� �
∂F ∂F , ∂xi ∂xj
(für i,j ∈ {1,... ,k})
und das Volumenelement ρF := � det(gij) definieren. F ist genau dann eine Immersion, und
[F] damit eine (singularitätenfreie) Fläche, wenn ρF > 0 gilt. Ist K ⊂ G kompakt, so definieren
wir das (k-dimensionale) Volumen von F |K als
�
ρF dλ
K
k ,
mit derselben Begründung wie in Abschnitt 5.1 ist diese Größe von der Wahl der Parametrisierung
der Fläche unabhängig. In dieser Bedeutung von ρF liegt der Grund für die Bezeichnung
„Volumenelement“ sowohl für das hiesige ρF , als auch für das in Abschnitt 5.6 eingeführte Volumenelement
ρ eines k-dimensionalen Riemannschen Gebiets.
Zu beachten ist, dass die Aussagen aus den Abschnitten 5.7 und 5.8 über die Existenz lokaler
orthogonaler bzw. konformer Abbildungen keine Entsprechung für k-dimensionale Flächen mit
k ≥ 3 haben.