Kurven und Flächen Sebastian Klein - Lehrstuhl für Mathematik III

5.3. REGELFLÄCHEN 57
(c) Das einschalige Hyperboloid. Dieses wird durch die Gleichung x 2 + y 2 − z 2 = 1 beschrieben
und ist das Bild der Regelflächenparametrisierung, die durch
α := p0 + Γ und E := (Γ ′ + a3)/ √ 2
beschrieben wird. (Das zweischalige Hyperboloid kann hingegen nicht als Regelfläche dargestellt
werden.)
(d) Das (unendlich ausgedehnte) Möbiusband ist die Regelfläche, die durch
induziert wird.
α : [0,2π] → IE 3 , t ↦→ p0 + Γ(t) und
E : IR → IE 3 L, t ↦→ cos(t/2) · Γ(t) + sin(t/2) · a3
(e) Die Tangentenfläche, Hauptnormalenfläche und Binormalenfläche einer regulären
C 3 -Kurve α : I → IE 3 mit κα > 0 . Es sei (Tα,Nα,Bα) das Frenet-3-Beinfeld
zu α , dann sind die Tangenten-, Hauptnormalen- und Binormalenfläche zu α die Regelflächen,
die zur Kurve α mit E = Tα , E = Nα bzw. E = Bα induziert werden.
Die folgenden Bilder zeigen diese Flächen für eine Schraubenlinie α . Man beachte, dass
die Hauptnormalenfläche einer Schraubenlinie eine Wendelfläche ist (wenn auch α nicht
die Striktionslinie dieser Wendelfläche ist, siehe (a)).