Kurven und Flächen Sebastian Klein - Lehrstuhl für Mathematik III

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36 KAPITEL 3. EBENE KURVENTHEORIE
Kapitel 4 Räumliche Kurventheorie Wir wenden uns nun der Theorie von Kurven im 3-dimensionalen Raum zu. Dementsprechend machen wir im gesamten Kapitel die folgenden Generalvoraussetzungen: Es sei IE ein 3-dimensionaler, orientierter, euklidischer Raum, IEL sein Richtungsvektorraum, det : IEL × IEL → IR die durch die Orientierung ausgezeichnete Determinatenfunktion und IEL × IEL → IEL, (v,w) ↦→ v × w das hierdurch definierte Kreuzprodukt, es gilt also ∀u,v,w ∈ IEL : 〈u × v,w〉 = det(u,v,w) (siehe Abschnitt 1.7). Ich erinnere daran, dass für zwei beliebige, zueinander senkrechte Einheitsvektoren u,v ∈ IEL das Tupel (u,v,u × v) eine ONB von IEL ist. Ist a = (a1,a2,a3) eine positiv orientierte ONB von IEL , so definieren wir das Einheitsvektorfeld Γa : IR → IEL ,t ↦→ cos(t)a1 + sin(t)a2 ; damit ist dann für jedes t ∈ IR das Tupel (Γa(t),Γ ′ a(t),a3) eine positiv orientierte ONB von IEL , deshalb gilt insbesondere Γa ×Γ ′ a ≡ a3 . Außerdem gilt Γ ′ a(t) = Γa(t+ π 2 ) und Γ′′ a(t) = −Γa(t). 4.1 Die Frenet-Gleichungen für Raumkurven In diesem Abschnitt werden wir für Kurven im IE 3 ein angepasstes KKS-Feld einführen, und dessen Bewegung beschreiben, in analoger Weise, wie wir dies für Kurven in IE 2 in Abschnitt 3.1 getan haben. Dazu sei α : I → IE eine reguläre C k -Kurve mit k ≥ 3. Ihr sind die folgenden, in den Abschnitten 2.2 und 2.3 eingeführten Größen zugeordnet: • Die Bahngeschwindigkeit vα = �α ′ �, • Das Einheitstangentenfeld Tα = dα ds und � � � • Die absolute Krümmung κα = � d � � � � . ds Tα 37
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