Kurven und Flächen Sebastian Klein - Lehrstuhl für Mathematik III

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30 KAPITEL 3. EBENE KURVENTHEORIE (i) α ′ s = (1−sκ)·α′ . Insbesondere ist αs genau dann in t ∈ I regulär, wenn κ(t)·s �= 1 ist. Daher gilt: Falls αs in t ∈ I nicht regulär ist, so liegt αs(t) auf der Evolute von α. (ii) Die partiellen Ableitungen von F nach t und s sind in einem (t0,s0) ∈ I ×IR genau dann linear unabhängig (für die Experten: das bedeutet gerade, dass F in (t0,s0) maximalen Rang hat), wenn αs0 in t0 regulär ist. Insbesondere ist dies in allen (t0,0) mit t0 ∈ I der Fall. (iii) Ist αs in t ∈ I regulär, so ist κ(t)/|1 − s κ(t)| die orientierte Krümmung von αs . (d) Involuten. Ist s : I → IR eine Stammfunktion von vα , so heißt β := α − s · T eine Involute von α. Da Stammfunktionen lediglich bis auf eine „Integrationskonstante“ eindeutig festgelegt sind, existiert zu α eine ganze „Ein-Parameter-Familie“ von Involuten. Man zeige β ′ = −s · κ · vα · N . Daher gilt also (i) 〈α ′ ,β ′ 〉 = 0. (ii) β ist genau dann in t ∈ I regulär, wenn s(t) · κ(t) �= 0. Man skizziere α mit mehreren Involuten, und beweise sodann: Ist die Involute β überall regulär, so ist die Ein-Parameter-Familie aller Involuten von α gerade die Ein-Parameter- Familie aller Parallelkurven von β , und α ist die Evolute von β , falls β C 2 -differenzierbar ist; und umgekehrt: Ist α Evolute einer regulären C 2 -Kurve γ , so ist γ eine Involute von α. 3.5 Die Umlaufzahl und der Jordansche Kurvensatz Definition. Es sei α : [a,b] → IE eine reguläre C k -Kurve. (a) α heißt geschlossen, wenn α(a) = α(b) ist. (b) α heißt einfach geschlossen, wenn α(a) = α(b) und gilt. ∀a ≤ t1 < t2 ≤ b : � α(t1) = α(t2) =⇒ t1 = a und t2 = b � (c) α heißt eine glatt geschlossene C k -Kurve, wenn gilt. ∀r ∈ 0,... ,k : α (r) (a) = α (r) (b) (d) Wir nennen α eine C k -Jordankurve, wenn α eine einfach und glatt geschlossene C k -Kurve ist.
3.5. DIE UMLAUFZAHL UND DER JORDANSCHE KURVENSATZ 31 Beispiel und Gegenbeispiele. (a) Die Kreisparametrisierung α : [0,2π] → IR 2 , t ↦→ (cos(t),sin(t)) ist eine C ∞ -Jordankurve. (b) Die Lemniskate von Bernoulli β : [0,2π] → IR2 , t ↦→ cos(t) geschlossen. 1+sin 2 (t) · (1,sin(t)) ist nicht einfach (c) Die Tschirnhausen-Kubik γ : [−1,1] → IR2 , t ↦→ t2−1 t2 · (t,1) ist geschlossen, aber nicht +1 glatt geschlossen. 1.0 0.5 K1.0 K0.5 0 0.5 1.0 K0.5 K1.0 a 1.0 0.5 K1.0 K0.5 0 0.5 1.0 K0.5 K1.0 b K0.4 K0.2 0 0.2 0.4 Theorem. Der Jordansche Kurvensatz. Ist α : [a,b] → IE ein einfach geschlossener Weg eines 2-dimensionalen euklidischen Raumes IE, so zerfällt die offene Menge IE\α([a,b]) in genau zwei Zusammenhangskomponenten Gi und Ga , und α([a,b]) ist der Rand sowohl von Gi als auch von Ga . ∗ Bemerkung. Der Jordansche Kurvensatz gilt in gleicher Weise auch für Kurven auf der 2dimensionalen Sphäre S 2 , jedoch (offensichtlich) nicht auf dem Torus oder dem Möbiusband. Der Beweis des Jordanschen Kurvensatzes in seiner vollen Allgemeinheit ist sehr schwierig. Man benutzt Methoden der algebraischen Topologie. Wir können jedoch mit differentialgeometrischen Mitteln hier einen einfachen Beweis des Jordanschen Kurvensatzes in dem Fall, dass α eine C 2 -Jordankurve ist, geben. Wichtige Hilfsmittel sind der Begriff der Umlaufzahl, sowie die Konstruktion eines „Kragens“ um die Kurve. Zunächst stellen wir die notwendigen Informationen über die Umlaufzahl zusammen. Konstruktion der Umlaufzahl. Es sei α : [a,b] → IE ein geschlossener Weg. Die Menge α([a,b]) ist kompakt, also ist G := IE \ α([a,b]) offen. Für jedes p ∈ G definieren wir das Einheitsvektorfeld Ep : [a,b] → IEL , t ↦→ α(t) − p �α(t) − p� . Ist dann v ∈ IEL ein Einheitsvektor, so existiert nach dem Satz aus 1.8 eine stetige Funktion ϑp : [0,L] → IR , so dass Ep = Γv ◦ ϑp ∗ Man beachte, dass hier für α keine Differenzierbarkeit, noch viel weniger Regularität vorausgesetzt ist. — Die Indizes i und a in den Bezeichnungen der Zusammenhangskomponenten stehen für „innen“ bzw. „außen“. K0.2 K0.4 K0.6 K0.8 K1.0 g
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