05 - LF6 Thema Stahlbetonbalken-Schueler - Berufskolleg Borken

1. Einleitung
Thema : Beton- und Stahlbeton
Zuerst ein bisschen Wiederholung. Denke und hoffe für Sie, dass die Eigenschaften von Beton
noch im Kasten abgespeichert sind. Wie schon im Lernfeld 4 besprochen, ist der Baustoff Beton
in der modernen Bauindustrie nicht mehr wegzudenken. Fassen wir noch einmal die wichtigsten
Eigenschaften zusammen :
� __________________________________________________________________
� __________________________________________________________________
� __________________________________________________________________
� __________________________________________________________________
� __________________________________________________________________
Um den Baustoff aber vollkommen zu machen, fehlt eine wesentliche Eigenschaft :
� die Aufnahme von hohen Zugspannungen
Stellt sich nun die Frage, in welchen Tragwerken aus Beton neben Druckspannungen zeitgleich
auch Zugspannungen entstehen können ?
���� __________________________________________________________________
���� __________________________________________________________________
���� __________________________________________________________________
���� __________________________________________________________________´
���� __________________________________________________________________
���� __________________________________________________________________
Grundsätzlich entstehen in einem Bauteil Zugspannungen, wenn aufgrund der Verformung bei
Belastung Bereiche im Bauteil gestreckt werden. Geringe Zugspannungen können vom Beton
selber aufgenommen werden. Bei Überschreitung der aufnehmbaren Zugspannungen des Betons,
wird der Rest der verbleibenden Zugspannung vom Betonstahl aufgenommen, um die
Stansicherheit zu gewährleisten. Durch die Einbettung von Betonstahl in den Beton, entsteht der
Verbundbaustoff :
Stahlbeton
Seite 1

2. Verbundwirkung
Damit der Betonstahl die auftretenden Zugspannungen aufnehmen kann, muss zwischen dem
Beton und dem Betonstahl (Bewehrung) ein vollständiger Verbund vorliegen. Mit anderen
Worten, der Betonstahl muss vollflächig mit Beton ummantelt und fest mit dem Beton verzahnt
sein. Die Verbundwirkung zwischen dem Betonstahl und dem Beton ist dabei von folgenden
Kriterien abhängig :
���� __________________________________________________________________
���� __________________________________________________________________
���� __________________________________________________________________
���� __________________________________________________________________
���� __________________________________________________________________
���� __________________________________________________________________
3. Betonstahl
Zur Aufnahme der Zugspannung wird in der Praxis ausschließlich ein Betonstahl BSt 500 S (A)
verwendet. Diese Kurzbezeichnung kann wie folgt übersetzt werden :
BSt � _____________________________________________________________
500 � _____________________________________________________________
S � _____________________________________________________________
(A) � _____________________________________________________________
Alternativ zum S kann auch ein M verwendet werden, wenn die Bewehrung aus
Betonstahlmatten besteht und alternativ zum (A) kann ein (B) verwendet werden, wenn die
Duktilität der Bewehrung sehr hoch (Verformbar) sein muss.
3.1 Begriff der Streckgrenze
Baustoffe, wie eben beispielsweise Stahl, Holz oder auch Glas sind bis zu einer bestimmten
Grenze elastisch. Dies bedeutet, dass die Verformung bei Wegnahme der Einwirkung wieder in
die Ursprungs(Ausgangs)form zurückgeht. Bei Überschreitung der Grenze verformt sich der
Baustoff plastisch. In diesem Bereich bleibt die Verformung auch bei Wegnahme der
Einwirkung bestehen. Dies bedeutet aber nicht gleichzeitig den Verlust der Tragfähigkeit. Bei
Betrachtung des Spannungs-Dehnungsdiagramms eines Betonstahls BSt 500 S (A) wird dieses
deutlich.
Seite 2

Spannungs-Dehnungsdiagramm :
Mithilfe eines Zugversuches wurden die wichtigsten Festigkeitseigenschaften wie Streckgrenze
und zulässige Zugfestigkeit für ein Betonstahl BSt 500 S (A) ermittelt. Dabei zeigt sich, dass bis
zur Streckgrenze S die Dehnung und die daraus resultierende Spannung proportional zueinander
stehen. Dies bedeutet, dass bei Verdopplung der Dehnung sich gleichzeitig auch die Spannung
verdoppelt. In diesem Proportionalitätsbereich verhält sich der Betonstahl elastisch. Bei
Überschreitung der Streckgrenze verhält sich der Betonstahl plastisch und fängt an zu fließen. Im
Fließbereich nimmt die Dehnung stark zu, ohne dabei die Spannung zu erhöhen. Nachdem
Fließbereich nimmt bei weiterer Dehnung die Spannung nur noch unwesentlich zu. Die maximal
aufnehmbare Zugspannung beträgt 550 N/mm 2 . Bei Überschreitung der maximalen
Zugspannung nimmt die Spannung im Stahl bei weiterer Dehnung ab und erreicht die
Zerreißgrenze, an der Betonstahl reißt. Bei der Bemessung von Stahlbetonbauteilen, darf die
Streckgrenze nicht überschritten werden. Nachdem Sicherheitskonzept nach DIN 1045-1 darf bei
der Bemessung der Bewehrung folgende Zugspannung nicht überschritten werden :
zulässig σS =
zulässig σS =
Streckgrenze
γ
M
500N
/ mm
1,
15
2
= 435 N/mm 2 � 43,5 kN/cm 2
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Zerreißgrenze

3.2 Handelsformen von Betonstahl
Für die Bewehrung eines Stahlbetonbauteils kommen folgende Durchmesser zur Anwendung :
Durchmesser mm 6 8 10 12 14 16 20 25 28
Querschnitt cm 2 0,283 0,503 0,785 1,131 1,54 2,01 3,14 4,91 6,16
Gewicht kg/m 0,222 0,395 0,617 0,888 1,21 1,58 2,47 3,85 4,83
Die mögliche Lieferlänge beträgt bis zu 15,0 m
4. Tragverhalten eines Stahlbetonbalkens
An einem Stahlbetonbalken auf zwei Stützen mit einer gleichmäßigen Streckenlast wird das
Tragverhalten näher erläutert.
Die Frage, die sich hier stellt lautet :
Wo muss aufgrund von Zugspannungen die Biegzugbewehrung eingelegt werden ?
Mithilfe der Verformungsfigur des Bauteils resultierend aus der äußerlichen Einwirkung, werden
die Bereiche sofort sichtbar, wo sich unabhängig von der Größe der Einwirkung Zugspannungen
im Bauteil einstellen.
Bei Betrachtung der Verformungsfigur wird deutlich sichtbar, dass der untere Randbereich des
Stahlbetonbalkens am meisten gestreckt wird und der obere Randbereich gestaucht wird. Die
erforderliche Bewehrung muss demzufolge soweit wie möglich im unteren Randbereich
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eingebaut werden. Um einen vollständigen Verbund zwischen dem Betonstahl und dem Beton zu
gewährleisten, muss die Bewehrung einen gewissen Abstand zum Randbereich aufweisen.
Dieser Abstand (Betondeckung Kapitel 9) ist auch der Garant für den erforderlichen
Korrosionsschutz der Bewehrung.
4.1 Rissbild unter Belastung
Die maximale Zugbeanspruchung befindet sich auf der Unterseite des Stahlbetonbalkens. Wenn
die eingebaute Bewehrung sinn machen soll, dann muss der Beton auf der Unterseite zunächst
reißen. Würde der Beton dies nicht tun, so würde die komplette Zugbeanspruchung vom Beton
aufgenommen werden und der Betonstahl wäre überflüssig. Aufgabe des Tragwerksplaners ist es
die Rissbreite so klein wie möglich zu bemessen, um den Korrosionsschutz nicht zu gefährden.
Für Bauteile im normalen Hochbau unter normalen Umweltbedingungen darf gemäß DIN 1045-
1 folgende Rissbreite nicht überschritten werden :
Darstellung Rissbild unter Belastung:
Fragen :
Wcal ≤ 0,4 mm
1. Warum werden die Rissbreiten der Biegezugrisse zum Auflager hin immer kleiner ?
2. Warum hören die Biegezugrisse kurz vor dem Auflager auf beiden Seiten auf ?
3. Was und wie entstehen am Auflager Schubrisse ?
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Antwort zu 1. + 2. :
� Wenn am Biegezugrand der Beton reißt, dann bedeutet dies, dass die Zugspannung
aufgrund der Verformung nicht vom Beton aufgenommen werden kann. Ohne den
Einbau einer Biegezugbewehrung würde der Balken seine Tragfähigkeit verlieren und
einstürzen.
� Bei Betrachtung des Bauteils stellen Sie fest, dass sowohl das System als auch die
äußerliche Einwirkung symmetrisch ist. Dies hat zufolge, dass die maximale
Durchbiegung und somit die maximale Zugspannung genau in der Mitte des Balkens
auftritt. Die Entstehung der Biegezugrisse erfolgt schrittweise :
1. Schritt :
Bei Überschreitung der maximal aufnehmbaren Zugspannung des Betons reißt dieser an
der Stelle der maximalen Durchbiegung auf. Durch die Klaffung wird die gesamte
Zugkraft zu 100% in die Bewehrung eingeleitet. Durch die Klaffung nimmt die
Steifígkeit des Balkens ab und biegt sich weiter durch.
2. Schritt :
Durch den Verbund zwischen der Bewehrung und dem Beton, wird ein Teil der Zugkraft
über die Rippen des Betonstahls wieder in den Beton eingeleitet. Diese Zugkraft und die
daraus resultierende Zugspannung kann ebenfalls nicht vom Beton aufgenommen werden
und der Beton reißt erneut. Die zweite Klaffung in Richtung zum Auflager reduziert die
Steifigkeit des Balkens erneut und biegt sich weiter durch.
3. Schritt bis n. Schritt :
In den nächsten Schritten wiederholt sich der zweite Schritt solange, bis die zuletzt
eingeleitete Zugkraft so klein ist, dass die daraus resultierende Zugspannung vom Beton
selber aufgenommen werden kann. Die Enddurchbiegung ist dann ebenfalls erreicht.
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Antwort zu 3. :
� Neben den Biegezugspannungen im Feld, entstehen am Auflager sogenannte
Schubspannungen. Alternativ zum Begriff Schubspannung wird diese auch als
Abscherspannung bezeichnet. Zum Verständnis her ist der Begriff Abscherspannung
auch besser geeignet. Was passiert also am Auflager ? Noch einfach für Sie vorstellbar
ist, dass der Balken bei einem entsprechenden Gegendruck (Auflager) unter Belastung
senkrecht bzw. quer zur Bauteilachse abscheren möchte. Daraus ergeben sich vertikale
Querschubspannungen.
Darstellung Querschubspannung :
Gleichzeitig wirken am Auflager enorme Längsschubspannungen. Dabei zerteilt sich der
Balken in eine Vielzahl von Einzelbalken, die sich in Richtung der Bauteilachse
gegeneinander verschieben wollen. Die horizontale Verschiebung ist am Auflager immer
am größten und reduziert im Feld an der Stelle zu Null, wo der Balken die maximale
Durchbiegung erfährt. In diesem Beispiel in Bauteilmitte.
Darstellung Längsschubspannung :
Seite 7

Die Kombination aus Querschubspannung und Längsschubspannung ergibt eine schräg
verlaufende Schubspannung, die nichts anderes ist, als eine gewöhnliche Zugkraft nur mit
anderen Begriff.
In der Praxis besteht die Möglichkeit Bauteile unter Einwirkung zu röntgen. Dadurch kann
festgestellt werden, in welchen Bereichen sich Zug- bzw. Druckspannungen ergeben. Außerdem
wird die Richtung der Zug- und Druckspannungen ebenfalls sichtbar. Die Verlaufslinien der
Spannungen werden als Spannungstrajektorien bezeichnet.
Darstellung der Spannungstrajektorien :
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4.2 Idealer Bewehrungsverlauf
Der ideale Bewehrungsverlauf ergibt sich, indem man parallel zur Klaffung der Biegzugrisse und
der Schubrisse die Bewehrung anordnet !
Aufgabe 1 :
Zeichnen Sie in den nachfolgenden Stahlbetonbalken das Rissbild und den idealen
Bewehrungsverlauf unter der Annahme einer gleichmäßigen Streckenbelastung !
System 1
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System 2
System 3
System 4
System 5
System 6
5. Aufgabe der Bewehrung
Zur Aufnahme der Biegezugspannungen im Feld und oberhalb von Innenstützen werden parallel
nebeneinander Einzelbetonstähle eingebaut. Die Anzahl und der Durchmesser der Betonstähle
richtet sich nach der Größe der vorhandenen Zugkraft. Zur Aufnahme der Schubspannungen
werden vertikale Bügel vorgesehen. Diese werden maschinell beim Stahlhändler auf die
entsprechenden Einzellängen aufgebogen. Die vertikalen Schenkel werden dabei auf Zug
beansprucht. Um die Bügel in ihrer Lage zu stabilisieren werden zusätzlich im Druckbereich
Montagestäbe (in der Regel 2∅10mm) vorgesehen.
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Beispiel Biegeplan Einfeldträger auf zwei Stützen (Darstellungsart 1) :
6. Fachwerkanalogie nach DIN 1045-1
Die Frage die Sie sich jetzt stellen müssten lautet :
Wieso werden die Bügel vertikal eingebaut, wenn die Klaffung infolge Schubspannung am
Auflager diagonal verläuft ?
Die Antwort gliedert sich in zwei Teile :
1. � Vertikale Bügel lassen sich einfacher einbauen als schräg verlaufende.
2. � Man zwingt dem Balken eine Fachwerktheorie auf, bei der die Zugkraft infolge der
Schubspannung vertikal verläuft.
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Betrachten Sie sich noch einmal den Verlauf der Spannungstrajektorien !
In Trägermitte verlaufen sowohl die Zugspannungstrajektorien im unteren Bereich als auch die
Druckspannungstrajektorien im oberen Bereich parallel zum jeweiligen Rand. Zum Auflager hin
ist der Verlauf der Trajektorien diagonal. Die Zugspannungstrajektorien verlaufen demzufolge
von rechts unten nach links oben und die Druckspannungstrajektorien verlaufen von links
unten nach rechts oben. Dies ist die Begründung, warum idealer weise die Bügel schräg
eingebaut werden sollten. Nachdem dargestellten Trajektorienverlauf bildet sich im Balken
folgendes Fachwerk :
Gemäß der Bauteilverformung wird der Obergurt des Fachwerks auf Druck und der Untergurt
auf Zug beansprucht. Des weiteren wird die Einwirkung in Feldmitte im Wechsel über die
Druck- und Zugdiagonalen zum Auflager hin abgetragen. Dabei wird die Beanspruchung des
Obergurtes und der Druckdiagonalen vom Beton übernommen. Die Beanspruchung des
Untergurtes von der Biegzugbewehrung. Und die der Zugdiagonalen von den Bügeln.
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Dadurch, dass man die Bügel in einem engeren Abstand einbaut kann vereinfacht folgendes
Fachwerk gemäß DIN 1045-1 angenommen werden :
Die Beanspruchung der Fachwerkelemente bleibt die gleiche, nur das aus den diagonal
verlaufenden Zugdiagonalen eben senkrecht verlaufende Zugstäbe werden und Sie somit getrost
die Bügel jetzt vertikal bzw. senkrecht einbauen (bzw. zeichnen) dürfen.
Haben Sie das alles verstanden ? Ich wünsche es Ihnen.
7. Grundlagen der Baustatik
In früheren Zeiten beruhte die Tragfähigkeit von Gebäuden bzw. Einzelbauteilen auf den
Erfahrungswerten alter Handwerksmeister aus allen Gewerken. Auf Grundlage von
Forschungsergebnissen über die verschiedenen Baustoffe und deren Tragverhalten, konnten
allgemeingültige Gesetzmäßigkeiten festgelegt werden, um somit rechnerisch die Tragfähigkeit
von Gebäuden bzw. von Einzelbauteilen zu gewährleisten.
7.1 Definition der Baustatik
Der Nachweis der Tragfähigkeit unterliegt den Gesetzmäßigkeiten der Baustatik. Glauben Sie
mir – NICHTS KOMPLIZIERTES -, denn die Gesetzmäßigkeit der Baustatik beschreibt das :
GLEICHGEWICHT ALLER KRÄFTE, DIE AUF EIN RUHENDEN KÖRPER WIRKEN
Alles Begriffe, die Sie kennen. Bin davon überzeugt, dass viele von Ihnen in ganz jungen Jahren
schon einmal auf den Spielplatz den GROßEN STATIKER gespielt haben, als Sie vehement
versucht haben, die Wippe in der Horizontalen zu halten. Mit anderen Worten, Sie wollten nichts
anderes, als ein Gleichgewicht auf beiden Seiten der Wippe zu schaffen.
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Beispiele Stahlbetonbalken auf zwei Stützen :
Ein Stahlbetonbalken wird auf beiden Seiten mithilfe von zwei Mauerwerkswänden unterstützt.
Die Aufgabe der Mauerwerkswände ist dabei eindeutig. Sie sollen schlichtweg verhindern, dass
der Stahlbetonbalken nach unten fällt. Mit anderen Worten, eine vertikale Verschiebung
unterbinden.
Die auf den Stahlbetonbalken einwirkenden Kräfte (Aktionskräfte) werden nun auf die
entsprechenden Auflager verteilt. An jedem Auflager entstehen somit Auflagerkräfte
(Reaktionskräfte). Gleichgewicht herrscht dann, wenn die Summe der Aktionskräfte
(einwirkende Kräfte) genauso groß ist, wie die Summe der Reaktionskräfte (Auflagerkräfte).
In der Praxis wird nach der Definition von STUHR zwischen dem theoretischen und dem
praktischen Gleichgewicht unterschieden. Wo liegt der Unterschied ?
Theoretisches Gleichgewicht :
Das theoretische Gleichgewicht umfasst die Berechnung der Auflagerkräfte (Reaktionskräfte)
aufgrund der äußerlichen Einwirkungen. Ziel der statischen Berechnung ist es ja, dass Bauteile
unter Belastung trotzdem in Ruhelage bleiben.
Praktisches Gleichgewicht :
Leider reicht es für den Nachweis der Tragfähigkeit eines Bauteils nicht aus, nur rechnerisch die
resultierenden Auflagerkräfte zu berechnen. Es muss ebenfalls zwingend nachgewiesen werden,
dass die berechneten Auflagerkräfte auch von den Unterstützungen aufgenommen und
weitergeleitet werden können.
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7.2 Gleichgewichtsbedingungen
Ziel der Baustatik ist es, alle tragenden Bauteile in einem Bauwerk in Gleichgewicht zu halten.
Mit anderen Worten, in deren Ruhelage zu bewahren. Wo kämen wir auch hin, wenn eine Stütze
die 80 % einer Deckenplatte trägt, abends zum Einkaufen gehen würde. Um den Nachweis
zuführen, dass tragende Bauteile sich stets in ihrer Ruhelage befinden, muss jedes Tragwerk drei
Gleichgewichtsbedingungen erfüllen :
1. Gleichgewichtsbedingung
Es muss nachgewiesen werden, dass sich ein Bauteil nicht horizontal verschieben kann. Daraus
folgt :
� Die Summe aller horizontalen Kräfte, die auf ein Bauteil einwirken, müssen Null
ergeben !
2. Gleichgewichtsbedingung
Es muss nachgewiesen werden, dass sich ein Bauteil nicht vertikal verschieben kann. Daraus
folgt :
� Die Summe aller vertikalen Kräfte, die auf ein Bauteil einwirken, müssen Null
ergeben !
3. Gleichgewichtsbedingung
Es muss nachgewiesen werden, dass sich ein Bauteil an keiner Stelle wie eine Wippe verdrehen
kann. Daraus folgt :
� Die Summe aller Drehmomente um einen definierten Drehpunkt, müssen Null
ergeben !
Bei der Aufstellung einer statischen Berechnung wird folgende Kurzschreibweise verwendet :
Seite 15

7.3 Drehmomente
Bin davon überzeugt, dass Sie sich die 1. und 2. Gleichgewichtsbedingung vorstellen können.
Aber was ist mit der 3. Gleichgewichtsbedingung gemeint ? Halten wir uns diese noch einmal
vor Augen :
3. Gleichgewichtsbedingung
Es muss nachgewiesen werden, dass sich ein Bauteil an keiner Stelle wie eine Wippe verdrehen
kann. Daraus folgt :
� Die Summe aller Drehmomente um einen definierten Drehpunkt, müssen Null
ergeben !
Aber wie wird ein Drehmoment in der Baustatik definiert. Folgendes Beispiel soll Licht in den
Tunnel bringen.
Schwere Gegenstände lassen sich mithilfe einer langen Stange problemlos anheben. Der Grund
dafür liegt in der Größe des Kraftarmes.
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Sowohl die Last F1 als auch die aufzubringende Kraft F2 erzeugen um den Drehpunkt a ein
Drehmoment mit entgegengesetzter Drehrichtung. Der Betrag des Drehmomente ergibt sich aus
dem Produkt :
Es kann nur Gleichgewicht herrschen, wenn beide Drehmomente M1 und M2 vom Betrag her
gleich groß sind.
Daraus ergibt sich folgende Gleichgewichtsbedingung :
Σ Drehmomente M(a) = 0
� + M2 - M1 = 0
� + F2 * L2 - F1 * L1 = 0
� F2 * L2 = F1 * L1
� F2 =
Hinweis :
M1 = Last * Lastarm
M1 = F1 * L1
und
M2 = Kraft * Kraftarm
M2 = F2 * L2
Seite 17
F1*
L1
L2
Welche Drehrichtung als positiv definiert wird, liegt in der Hand des Statikers !

7.3.1 Übungsaufgaben zum Thema Drehmomente
Aufgabe 1 :
Bestimmen Sie die nachfolgenden Berechnungsgrößen !
Aufgabe 2 :
Bestimmen Sie die nachfolgenden Berechnungsgrößen !
Aufgabe 3 :
Bestimmen Sie die erforderliche Kraft F2, sodass die Schubkarre angehoben werden kann !
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Aufgabe 4 :
Bestimmen Sie die erforderliche Befestigungskraft F1 für einen Schwerlastdübel, sodass das
Auslegergerüst in der Horizontalen bleibt !
Aufgabe 5 :
Bestimmen Sie die fehlende Kraft F1, sodass der Balken im Gleichgewicht bleibt !
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7.4 Berechnung von Auflagerkräften
Definition :
Als Auflagerkraft wird die Kraft bezeichnet, die ein Bauteil aufgrund äußerliche Einwirkungen
auf eine Unterstützung ausübt.
Beispiel :
Auf einen Balken auf zwei Stützen wirkt in Feldmitte eine Einzellast von 50 kN. Aufgrund der
Symmetrie des Bauteils und der Einwirkung, muss jede Unterstützung theoretisch 25 kN
aufnehmen können.
Die auf das Bauteil einwirkende Einzellast erzeugt an der jeweiligen Unterstützungr eine
Auflagerkraft. Ziel der Baustatik ist es, tragende Bauteile im Ruhestand zu lassen unabhängig
von der Größe, Art und Richtung der äußerlichen Einwirkungen. Um dieses zu gewährleisten,
müssen zuvor in einer statischen Berechnung die Auflagerkräfte theoretisch bestimmt werden
um dann mithilfe einer Spannungsberechnung (σ=F/A lässt grüßen) auch praktisch zu beweisen,
dass die Auflagerkräfte vom Querschnitt und Material der Unterstützung aufgenommen werden
kann.
7.4.1 Statische Systeme
Um die Tragfähigkeit von Bauteilen rechnerisch nachweisen zu können, werden diese im ersten
Schritt in statische Systeme umgewandelt. Mithilfe von statischen Systemen wird vereinfacht die
Geometrie des Bauteils dargestellt. Dabei werden nur die Bauteilachsen dargestellt. Sie sind also
nicht immer gezwungen, den ganzen Dachstuhl oder den ganzen Balken in Länge, Höhe und
Breite darzustellen
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Beispiele :
Balken oder Deckenplatte auf zwei Stützen
Balken oder Deckenplatte auf drei Stützen
Fachwerkbinder
Stützensysteme
Sie sehen selber, dass die Darstellung der Tragwerke mithilfe von statischen Systemen
vollkommen ausreichend ist.
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7.4.2 Auflagersymbole
Auflager müssen so konstruiert werden, dass sowohl Verschiebungen als auch Verdrehung der
Tragwerke unterbunden werden. Welches Auflager im System welche Aufgabe zu erfüllen hat,
muss vom Statiker bestimmt und eindeutig im statischen System erkennbar sein. Erkennbar wird
dieses durch eine allgemeingültige Definition der Auflagersymbolik.
7.4.2.1 Vertikale Auflager
Nicht alle Auflager in einem System müssen neben einer vertikalen Verschiebung auch
gleichzeitig eine horizontale Verschiebung unterbinden. Demzufolge werden Auflager, die nur
vertikale Auflagerkräfte aufnehmen müssen folgendermaßen dargestellt :
7.4.2.2 Vertikale und horizontale Auflager
Um eine horizontale Verschiebung des Tragwerks zu unterbinden muss mindestens ein Auflager
so konstruiert werden, dass eine horizontale Verschiebung tatsächlich unterbunden wird. Häufig
muss dieses Auflager auch eine vertikale Verschiebung unterbinden. Diese Art von Auflager
werden folgendermaßen dargestellt :
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7.4.2.3 Vertikale und horizontale Auflager + Einspannung
Tragwerke, wie zum Beispiel eine auskragende Balkondeckenplatte, besitzt nur ein Auflager.
Noch einmal zur Erinnerung. Tragende Bauteile dürfen sich nicht vertikal und nicht horizontal
verschieben. Gleichzeitig dürfen sie sich nicht wie eine Wippe auf den Kinderspielplatz
verdrehen. Auflager, die alle drei Funktionen übernehmen müssen werden folgendermaßen
dargestellt :
7.4.3 Berechnung von Auflagerkräften statisch bestimmter Systeme
Im Gegensatz zu statisch unbestimmten Systemen, lassen sich die Auflagerkräfte statisch
bestimmter Systeme schnell und total unkompliziert mithilfe der drei Gleichgewichtsbindungen
berechnen.
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Greifen wir dazu noch einmal das Beispiel 1 mit dem Balken auf zwei Stützen mit einer
Einzellast in Feldmitte auf !
Wenn das statische System und die Einwirkung symmetrisch sind, dann müssen die
Auflagerkräfte vom Betrag her ebenfalls symmetrisch sein. In diesem Beispiel spielt sogar die
Systemlänge L überhaupt keine Rolle, wenn man mal das Eigengewicht des Balkens mal
vernachlässigt. Nicht alle Systeme in der Praxis sind symmetrisch und auf gar keinen Fall jede
Einwirkung. Oftmals ist auch die Art der Einwirkung unterschiedlich, wenn neben Einzellasten
aus Stützen auch Streckeneinwirkungen resultierend aus Decken oder Wänden auf das System
einwirken. Es muss also einen allgemeingültigen Berechnungsalgorithmus zur Berechnung der
Auflagerkräfte geben. Stimmt ! Und der ist so was von einfach. Wenn Sie das Prinzip der Wippe
auf der Seite 16 und 17 verstanden haben, dann können Sie für jedes System die Auflagerkräfte
bestimmen. Wie bereits erwähnt, können die Auflagerkräfte mithilfe der drei
Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden. Für die Berechnung der Auflagerkräfte bietet
sich folgender Berechnungsalgorithmus an :
1. Gleichgewichtsbedingung zur Bestimmung der horizontalen Auflagerkräfte
3. Gleichgewichtsbedingung zur Bestimmung der ersten vertikalen Auflagerkraft
3. Gleichgewichtsbedingung zur Bestimmung der zweiten vertikalen Auflagerkraft
2. Gleichgewichtsbedingung zur Kontrolle der ersten und zweiten vertikalen Auflagerkraft
Seite 24

Wenden wir diesen Algorithmus für unser Beispiel an. Das statische System mit den
unbekannten Auflagerkräften sieht dabei folgendermaßen aus :
1. Gleichgewichtsbedingung
+
Σ Horizontalen Kräfte Hx = 0 (Alle Kräfte die nach rechts gerichtet sind,
werden als positiv definiert)
� HA,X = 0
3. Gleichgewichtsbedingung
Zur Berechnung der vertikalen Auflagerkräfte verwendet man die 3. Gleichgewichtsbedingung,
da Sie mit dieser eine Gleichung mit einer Unbekannten bekommen. Mithilfe dieser
Gleichgewichtsbedingung werden Drehmomente ins Gleichgewicht gestellt. Zur Erzeugung
eines Drehmomentes benötigen Sie zum einen eine Einzelkraft und zum zweiten einen Lastarm
(Hebelarm). Befindet sich der Drehpunkt direkt unterhalb einer Einzellast, so kann das System
sich nicht verdrehen, da diese Einzellast zum Drehpunkt keinen Lastarm besitzt. Der Standort
des Drehpunktes im System muss zuvor vom Statiker definiert werden. Dabei gibt es nur einen
Standort, der zum Schluss eine Gleichung mit einer Unbekannten ergibt. Machen Sie im ersten
Schritt aus dem statischen System eine Wippe und betrachten Sie sich die Ausgangssituation !
Seite 25

Egal wo Sie den Standort des Drehpunktes definieren, ergeben sich maximal drei Drehmomente.
Vorrausgesetzt, die einwirkende Einzellast und die unbekannten Auflagerkräfte besitzen einen
Last(Hebel)arm. Sie können eine Gleichung nur eindeutig nach einer Unbekannten umstellen,
wenn diese in der Gleichung auch als alleinige Unbekannte vorhanden ist. Demzufolge macht es
sinn, wenn Sie den Standort des Drehpunktes direkt am Auflager A oder B definieren.
Noch einmal ganz langsam. Egal wo sich der Drehpunkt befindet, das Systems darf sich nicht
verdrehen. Zur Bestimmung der vertikalen Auflagerkraft A macht es daher sinn, den Drehpunkt
am Auflager B zu definieren. Beim Aufstellen der Gleichgewichtsbedingung wird das
Drehmoment aus der vertikalen Auflagerkraft VB;Z eliminiert, da diese zum Drehpunkt keinen
Lastarm besitzt. Zeichnen Sie sich jetzt im zweiten Schritt am Drehpunkt die möglichen
Drehmomente inklusive deren Drehrichtungen ein !
Bei Wegnahme des Auflagers A, würde die einwirkende Einzellast das System linksherum
verdrehen wollen. Um dieses zu verhindern, benötigen Sie mindestens ein rechtsdrehendes
Drehmoment, um ein Gleichgewicht herzustellen. Allgemein ausgedrückt kann gesagt werden,
dass ein Gleichgewicht nur dann erzeugt werden kann, wenn die Summe der linksdrehenden
Momente genauso groß ist wie die Summer der rechtsdrehenden Momente. Alternativ kann
dieses ausgedrückt werden, wenn sich die linksdrehenden Momente mit den rechtsdrehenden
Momenten aufheben bzw. Null ergeben. Und genau das besagt die dritte Gleichgewichtsbedingung
:
Seite 26

Σ Drehmomente M(B) = 0 (Alle rechtsdrehenden Momente
werden als positiv definiert)
� MA - MF = 0
� MA = MF
� VA;Z * 6,00 m = 50 kN * 3,00 m
� VA;Z =
� VA,Z = 25 kN
Seite 27
50kN
* 3,
00m
6,
00m
Zur Berechnung der vertikalen Auflagerkraft VB,Z bestimmt man den Standort des Drehpunktes
am Auflager A. Dadurch wird ebenso das Drehmoment aus der Auflagerkraft VA,Z eliminiert, da
diese keinen Lastarm besitzt.
Σ Drehmomente M(A) = 0 (Alle linksdrehenden Momente
werden als positiv definiert)
� MB - MF = 0
� MB = MF
� VB;Z * 6,00 m = 50 kN * 3,00 m
� VB;Z =
� VB,Z = 25 kN
50kN
* 3,
00m
6,
00m

Auch wenn das Ergebnis eindeutig ist, wird dieses zur Vollständigkeit mithilfe der 2.
Gleichgewichtsbedingung kontrolliert !
Σ Vertikalen Kräfte VZ = 0 (Alle Kräfte die nach unten gerichtet sind,
werden als positiv definiert)
� 50 kN - VA,Z - VB,Z = 0
� 50 kN - 25 kN - 25 kN = 0
� 0 = 0 Ergebnisse richtig
Sie werden sehen, dass Sie nach einer gewissen Übungsphase auf den Vergleich der
Drehmomente MA, MF1 usw. verzichten können und diese direkt mithilfe der Kraft und des
Lastarmes beschreiben können.
Ein Wort zur Definition der Drehrichtung !
+
Sie haben sicher bemerkt, dass bei der Berechnung der vertikalen Auflagerkraft VA,Z alle
rechtsdrehenden Momente als positiv definiert worden sind und bei der Berechnung der
vertikalen Auflagerkraft VB,Z alle linksdrehenden Momente als positiv definiert wurden. Welche
Drehrichtung Sie als positiv definieren ist bei der Berechnung egal. Das Sie eine Drehrichtung
bestimmen müssen liegt aber klar auf der Hand. Der Nachweis des Gleichgewichtes gelingt nur
dann, wenn sich alle Momente um einen Drehpunkt aufheben bzw. Null ergeben. Auf Null
kommt man in der Mathematik nur, wenn man von einem Betrag andere Beträge abzieht. Daraus
folgt, das sich mindestens ein Moment rechts drehen und mindestens ein Moment nach links
drehen muss. Welches Sie von dem einem Moment abziehen um auf Null zu kommen, ist völlig
egal. In meiner praktischen Laufbahn als Statiker hat es sich bewährt, stets die Drehrichtung als
positiv zu definieren, wo die Unbekannte drin verborgen ist. Dies hat den Vorteil, dass Sie beim
Aufstellen der Gleichgewichtsbedingung sofort mit der Unbekannten anfangen können und zwar
mit einem positiven Vorzeichen. Dies erleichtert aus meiner Sicht das Umstellen der Gleichung
nach der Unbekannten Auflagerkraft. Vergleichen Sie dazu die zuvor aufgestellten
Gleichgewichtsbedingungen.
Seite 28

Beispiel 2 :
Balken auf zwei Stützen mit Kragarm
statisches System :
Ein Wort zum Thema Kragarm !
Kragarme entlasten den Bereich des Systems zwischen den Auflagern, also das angrenzende
Feld. Mithilfe von Kragarmen kann somit die Durchbiegung im Feld enorm reduziert werden,
um somit eine Querschnittsverminderung zu erzielen.
Seite 29

Reduzierung der Durchbiegung im Feld mithilfe von Kragarmen:
Zurück zu unserem Beispiel. Gemäß den Richtungspfeilen der unbekannten vertikalen
Auflagerkräfte, werden diese aufgrund der äußerlichen Beanspruchung auf Druck beansprucht
werden. Bei Wegnahme der Einzellast von 35 kN im Feld würde folgendes passieren :
Der Balken würde am Auflager A abheben, und somit das Auflager auf ZUG beanspruchen. Das
Auflager muss demzufolge in der Lage sein, den Balken wieder nach unten ziehen zu können.
Das hat natürlich auch zur Konsequenz, dass sich die Pfeilrichtung am Auflager A umdreht um
ein Gleichgewicht zu realisieren. Ein Kragarm hat nicht nur eine entlastende Funktion für das
angrenzende Feld, sondern auch gleichzeitig eine entlastende Funktion für das weiter entfernte
Auflager. In diesem Beispiel Auflager A. Die Pfeilrichtung der unbekannten vertikalen
Auflagerkraft VA,Z kann bei einem Kragarmsystem nur vermutet werden, was aber nicht schlimm
ist. Zum Schluss gibt Ihnen das Vorzeichen vom Ergebnis Auskunft darüber, ob Sie Ihre
Vermutung richtig war oder nicht.
� Positives Vorzeichen � richtige Vermutung
� Negatives Vorzeichen � falsche Vermutung
Sollte sich Ihre Vermutung als falsch erweisen, dann drehen Sie einfach die Pfeilrichtung um
und schon haben Sie wieder ein positives Vorzeichen. In dem Beispiel oben vermuten wir mal,
das der Einfluss der Einzellast im Feld so groß ist, dass trotz Kragarmbelastung (Entlastung für
das Auflager A) das Auflager A durch den Balken auf Druck beansprucht wird. Das heißt, die
Pfeilrichtungen der unbekannten Auflagerkräfte zeigen beide nach oben.
Seite 30

Aufgabe 1 :
Berechnen Sie die vertikalen Auflagerkräfte VA,Z und VB,Z mithilfe der 3. Gleichgewichtsbedingung
und überprüfen Sie das Ergebnis mithilfe der 2. Gleichgewichtsbedingung !
Lösung :
Seite 31

Beispiel 3 :
Balken auf zwei Stützen mit einer Streckenlast
statisches System :
Streckenlasten resultieren beispielsweise aus der Einwirkung von Wänden oder Deckenauflasten.
Die Berechnung der Auflagerkräfte erfolgt analog dem Beispielen 1 und 2. Was ist aber anders ?
Richtig, es wirken keine Einzellasten. Drehmomente ergeben sich nämlich aus dem Produkt
einer Einzellast mal einem Lastarm, der rechtwinkelig zum Drehpunkt wirken muss. Mithilfe der
Streckenlast kann somit nicht so einfach ein Drehmoment erzeugt werden. Wiederholung ! Was
bedeutet noch einmal die Aussage 10 kN/m ? Denke, Sie wissen es noch. Die Einheit 10 kN/m
sagt aus, das im jedem Meter im Schwerpunkt eine Einzellast von 10 kN wirkt. Gott sei Dank,
da ist Sie ja wieder. In der Praxis wäre es aber absolut mühsam, dass System in „n“ viele
Einzellasten aufzusplitten, um mithilfe der 3. Gleichgewichtsbedingung die Auflagerkräfte zu
berechnen. Wie gehen Sie also dann vor ? Ganz einfach : Sie berechnen Sie resultierende
Gesamt(Einzel)last der Streckeneinwirkung und stellen diese im Schwerpunkt der gesamten
Streckenlast. Die Streckenlast im Beispiel besitzt ein rechteckigen Querschnitt. Somit liegt der
Schwerpunkt genau in der Mitte der Streckenlast.
Seite 32

Die resultierende Gesamtlast einer Streckenlast lässt sich allgemeingültig folgendermaßen
berechnen :
Angewendet auf das Beispiel :
FR = 10 kN/m * 6,00 m
FR = 60 kN
Somit ergibt sich folgendes umgewandeltes System :
Da das System als auch die Einwirkung wieder symmetrisch ist, ergeben sich die vertikalen
Auflagerkräfte VA,Z und VB;Z zu je 30 kN.
Aufgabe 2 :
FR = Streckenlast * Länge der Streckenlast
Berechnen Sie die vertikalen Auflagerkräfte VA,Z und VB,Z mithilfe der 3. Gleichgewichtsbedingung
und überprüfen Sie das Ergebnis mithilfe der 2. Gleichgewichtsbedingung !
Seite 33

Lösung :
Seite 34

Aufgabe 3 :
Berechnen Sie die vertikalen Auflagerkräfte VA,Z und VB,Z mithilfe der 3. Gleichgewichtsbedingung
und überprüfen Sie das Ergebnis mithilfe der 2. Gleichgewichtsbedingung !
Seite 35

Aufgabe 4 :
Berechnen Sie die vertikalen Auflagerkräfte VA,Z und VB,Z mithilfe der 3. Gleichgewichtsbedingung
und überprüfen Sie das Ergebnis mithilfe der 2. Gleichgewichtsbedingung !
Seite 36

Aufgabe 5 :
Berechnen Sie die vertikalen Auflagerkräfte VA,Z und VB,Z mithilfe der 3. Gleichgewichtsbedingung
und überprüfen Sie das Ergebnis mithilfe der 2. Gleichgewichtsbedingung !
Seite 37

Aufgabe 6 :
Berechnen Sie die vertikalen Auflagerkräfte VA,Z und VB,Z mithilfe der 3. Gleichgewichtsbedingung
und überprüfen Sie das Ergebnis mithilfe der 2. Gleichgewichtsbedingung !
Seite 38

7.5 Nachweis der Auflagerpressung
Theoretisch lassen sich alle Auflagerkräfte berechnen. Die Frage ist nur, ob diese auch praktisch
von der jeweiligen Unterstützung aufgenommen werden können. Was ist damit gemeint ? Auf
dem Papier ist es Ihnen hoffentlich tatsächlich gelungen durch die Berechnung der
Auflagerkräfte ein Gleichgewicht herzustellen. Was nützt Ihnen aber ein Gleichgewicht auf dem
Papier, wenn in der Praxis vor Ort die Unterstützung zusammenbricht. Sie haben recht
Mit anderen Worten, die Sache muss zuende gedacht werden. Mithilfe einer
Spannungsberechnung wird die vorhandene Auflagerpressung berechnet und mit einer
zulässigen Auflagerpressung verglichen. Diese Art Nachweis kennen Sie bereits vom Lernfeld 4
Planen einer Gründung. Die Formel, die Sie dafür benötigen kennen Sie ebenfalls. Balken oder
Deckenplatten, die ein Druck auf eine Unterstützung ausüben, geben die Auflagerkraft mithilfe
der Aufstandsfläche an die Unterstützung weiter. Die Formel für den Nachweis der
Auflagerpressung lautet demzufolge :
vorhandene Auflagerpressung σ =
Beispiel 1 :
Auflagerkraft
Aufs tan dsfläche
Gegeben : Stahlbetonbalken : b/h = 24/50 cm
maximale Auflagerkraft : VD = 125 kN
Seite 39
≤ zulässige Auflagerpressung σ
Unterstützung Mauerwerkspfeiler : 24/24 cm
Mauerwerk : KSV – 12 – 1,2 – MG IIa (M5)
zulässige Auflagerpressung σ Mauerwerk
: 0,283 kN/cm 2
Gesucht : Überprüfung der zulässigen Auflagerpressung σ Mauerwerk !
Lösung :
vorhanden σ Mauerwerk
=
125kN
24cm
* 24cm
GAR NICHTS
� Auflager hält dem Auflagerdruck stand !
= 0,217 kN/cm 2 < 0,283 kN/cm 2

Im Inneren von Gebäuden werden Balken vorwiegend über Öffnungen angeordnet. Als Auflager
für den Balken dienen auf beiden Seiten in der Regel Mauerwerkswände, die in der gleichen
Flucht verlaufen, wie der Balken selber. In so einem Fall muss die erforderliche Auflagertiefe LA
berechnet werden, die der Balken in das Mauerwerk eingebunden werden muss, sodass die
zulässige Auflagerpressung nicht überschritten wird. Gemäß DIN 1045-1 muss ein Balken aus
Beton mindesten 10 cm auf dem Mauerwerk aufliegen.
Die Breite der Aufstandsfläche ergibt aus der Breite des Balkens bzw. aus der Breite der Wand,
wenn diese kleiner ist als der Balken. Die Formel für den Nachweis der Auflagerpressung lautet
wie folgt :
vorhandene Auflagerpressung σ =
Auflagerkraft
L
A * bBalken,
Wand
Seite 40
≤ zulässige Auflagerpressung σ
Da sich in der Gleichung nur eine Unbekannte (LA) befindet, kann auf den direkten Weg nach
der erforderlichen Auflagertiefe LA umgestellt werden :
erforderliche Auflagertiefe LA
=
Auflagerkraft
zulässigσ
* b
Auflager
Balken,
Wand

Beispiel 2 :
Gegeben : Stahlbetonbalken : b/h = 17,5/45 cm
maximale Auflagerkraft : VD = 112 kN
Unterstützung Mauerwerkswand : d = 17.5 cm
Mauerwerk : KSV – 12 – 1,2 – MG IIa (M5)
zulässige Auflagerpressung σ Mauerwerk
Gesucht : Berechnung der erforderlichen Auflagertiefe LA !
Lösung :
erforderlich LA
=
112kN 2
0,
283kN
/ cm * 17,
5cm
= 22,6 cm > 10 cm
gewählt : LA = 25 cm (Anbaumaß Mauerwerk)
Aufgabe 1 :
Seite 41
: 0,283 kN/cm 2
Gegeben : Stahlbetonbalken : b/h = 30/55 cm
maximale Auflagerkraft : VD = 185 kN
Unterstützung Mauerwerkspfeiler : 30/30 cm
Mauerwerk : KSV – 12 – 1,2 – MG IIa (M5)
zulässige Auflagerpressung σ Mauerwerk
: 0,283 kN/cm 2
Gesucht : Überprüfung der zulässigen Auflagerpressung σ Mauerwerk !
Aufgabe 2 :
Gegeben : Stahlbetonbalken : b/h = 17,5/24 cm
maximale Auflagerkraft : VD = 205 kN
Unterstützung Mauerwerkspfeiler : 17,5/30 cm
Mauerwerk : KSV – 20 – 1,2 – MG IIa (M5)
zulässige Auflagerpressung σ Mauerwerk
: 0,34 kN/cm 2
Gesucht : Überprüfung der zulässigen Auflagerpressung σ Mauerwerk !

Aufgabe 3 :
Gegeben : Stahlbetonbalken : b/h = 50/60 cm
maximale Auflagerkraft : VD = 405 kN
Unterstützung Mauerwerkswand : d = 24 cm
Mauerwerk : KSV – 20 – 1,2 – MG IIa (M5)
zulässige Auflagerpressung σ Mauerwerk
Seite 42
: 0,34 kN/cm 2
Gesucht : Nachweis der zulässigen Auflagerpressung σ Mauerwerk !
Aufgabe 4 :
Gegeben : Stahlträger : HE 280 B
maximale Auflagerkraft : VD = 256 kN
Unterstützung Mauerwerkswand : d = 24 cm
Mauerwerk : KSV – 12 – 1,2 – MG IIa (M5)
zulässige Auflagerpressung σ Mauerwerk
: 0,283 kN/cm 2
Gesucht : Überprüfung der zulässigen Auflagerpressung σ Mauerwerk !
Aufgabe 5 :
Gegeben : Stahlträger : HE 260 B
maximale Auflagerkraft : VD = 195 kN
Unterstützung Mauerwerkspfeiler : 30/30 cm
Mauerwerk : KSV – 12 – 1,2 – MG IIa (M5)
zulässige Auflagerpressung σ Mauerwerk
: 0,283 kN/cm 2
Gesucht : Überprüfung der zulässigen Auflagerpressung σ Mauerwerk !
Aufgabe 6 :
Gegeben : Stahlträger : IPE 300
maximale Auflagerkraft : VD = 195 kN
Unterstützung Mauerwerkspfeiler : 30/30 cm
Mauerwerk : KSV – 12 – 1,2 – MG IIa (M5)
zulässige Auflagerpressung σ Mauerwerk
: 0,283 kN/cm 2
Gesucht : 6.1 Überprüfung der zulässigen Auflagerpressung σ Mauerwerk !
6.2 Berechnung der erforderlichen Breite einer Lastplatte unter dem Stahlträger !

Aufgabe 7 :
Gegeben : Stahlträger : IPE 180
maximale Auflagerkraft : VD = 95 kN
Unterstützung Mauerwerkspfeiler : 24/24 cm
Mauerwerk : KSV – 20 – 1,2 – MG IIa (M5)
zulässige Auflagerpressung σ Mauerwerk
Seite 43
: 0,34 kN/cm 2
Gesucht : 7.1 Überprüfung der zulässigen Auflagerpressung σ Mauerwerk !
7.2 Berechnung der erforderlichen Breite einer Lastplatte unter dem
Stahlträger !
Aufgabe 8 :
Gegeben : Stahlträger : HE 160 B
maximale Auflagerkraft : VD = 76 kN
Unterstützung Mauerwerkswand : d = 24 cm
Mauerwerk : Poroton – 12 – 0,8 – MG IIa (M5)
zulässige Auflagerpressung σ Mauerwerk
: 0,283 kN/cm 2
Gesucht : 8.1 Berechnung der erforderlichen Auflagerlänge LA !
8.2 Berechnung der erforderlichen Breite einer Lastplatte unter dem
Stahlträger, wenn der Stahlträger nur 12 cm auf der Wand aufliegen kann !
Aufgabe 9 :
Gegeben : Stahlbetonbalken : b/h = 24/30 cm
maximale Auflagerkraft : VD = 82 kN
Unterstützung Mauerwerkswand : d = 24 cm
Mauerwerk : KSL – 12 – 0,8 – MG II (M2.5)
zulässige Auflagerpressung σ Mauerwerk
Gesucht : Berechnung der erforderlichen Auflagertiefe LA !
Aufgabe 10 :
: 0,21 kN/cm 2
Gegeben : Stahlbetonbalken : b/h = 15/45 cm
maximale Auflagerkraft : VD = 125 kN
Unterstützung Mauerwerkswand : d = 15 cm
Mauerwerk : KS-P – 20 – 1,8 – MG II (M2.5)
zulässige Auflagerpressung σ Mauerwerk
: 0,34 kN/cm 2
Gesucht : Berechnung der erforderlichen Auflagertiefe LA !

7.5.1 Verbesserung der Auflagersituation
Bei einigen Aufgaben unter 7.5 war die zulässige Auflagerpressung überschritten, sodass die
Tragfähigkeit (Praktische Gleichgewicht) nicht gewährleistet werden konnte. Zur Vergrößerung
der Aufstandsfläche werden unterhalb von Stahlträgern sogenannte Lastplatten angeschweißt.
Bei Holzbalkenträgern besteht diese Möglichkeit ebenso. Das Anschweißen der Lastplatte
funktioniert natürlich nicht. Die Fixierung der Lastplatte unterhalb des Holzbalkenträgers wird
mittels Holzschrauben gemäß Hersteller gewährleistet. Welche Möglichkeit besteht aber bei
Stahlbetonbalken, wo ebenfalls ein anschweißen nicht möglich ist und die Fixierung mithilfe von
Ankerdübel viel zu aufwendig ist ?
In solchen Fällen wird im Bereich der Aufstandsfläche das Material der Unterstützung
ausgetauscht. Dieses Material besitzt im Vergleich zum restlichen Material der Unterstützung
eine viel höhere zulässige Auflagerpressung. Die Höhe der Verbesserung richtet sich nach dem
Lastverteilungswinkel des Austauschmaterials.
Seite 44

Durch die Lastverteilung innerhalb des Austauschmaterials wird die Aufstandsfläche (Fuge II)
zum restlichen Material der Unterstützung vergrößert. Diese muss so groß bemessen werden,
dass die zulässige Auflagerpressung des ursprünglichen Materials nicht überschritten wird.
Welche Materialien kommen zur Verbesserung der Auflagersituation zur Anwendung ?
Der Bereich am Auflager kann natürlich nur mit einem Material verbessert werden, welches eine
höhere Auflagerpressung zulässt, als das ursprünglich vorgesehene Material. Zur Anwendung
kommen daher nur vier Möglichkeiten zur Anwendung :
���� Gleiche Steinfestigkeit bei Erhöhung der Druckfestigkeit des Mauermörtels
���� Gleiche Druckfestigkeit des Mauermörtels bei Erhöhung der Steinfestigkeit
���� Gleichzeitige Erhöhung der Steinfestigkeit und der Druckfestigkeit des
Mauermörtels
���� Einbau eines BETONPOLSTERS
In früheren Zeiten waren die ersten drei Möglichkeiten Standart auf der Baustelle. Das lag daran,
das der Mauermörtel vor Ort auf der Baustelle hergestellt wurde und man nach dem Krieg alles
verbaut hatte, was man in die Finger bekam. Ganz allmählich wurden die drei Möglichkeiten
durch den Einbau von Betonpolstern ersetzt. Die Gründe dafür sind ebenfalls einleuchtend :
���� Bei jedem Betoniervorgang anderer Bauteile bleiben immer geringe Reste übrig, die
zur Herstellung von Betonpolstern verwendet werden können.
���� Heute wird vorwiegend Werksmörtel verwendet. Das heißt, die Bestellung von
geringen Mörtelmengen höherer Festigkeit, würde den Kostenrahmen für ein
Betonpolster sprengen.
���� Ebenso die handvoll Steine mit höherer Festigkeit
� Einfaches Einschalen vor Ort
Seite 45

7.5.1.1 Lastverteilungswinkel
In der Regel sind unbewehrte Betonpolster für die Aufnahme der vorhandenen
Auflagerpressung. ausreichend. Erst wenn die Höhe der Betonpolster in keinem Verhältnis zur
restlichen Wandhöhe mehr steht, kommen auch bewehrte Betonpolster zur Anwendung. Die
Entscheidung liegt in den Händen des Statikers. Auf der Baustelle wird das eingebaut, was in
den Bauplänen gezeichnet wurde (Leider häufig ohne einer selbstkritischen Betrachtung).
Die Höhe eines Betonpolsters hängt maßgeblich vom Lastverteilungswinkel ab. Dieser beträgt in
unbewehrten Betonpolstern 63,5° und in bewehrten Betonpolstern 45°.
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7.5.1.2 Bemessung von Betonpolstern
Zur Anwendung kommen im normalen Hochbau Betonpolster der Druckfestigkeitsklasse C20/25
bis maximal C30/37 zur Anwendung. Gemäß DIN 1045-1 können diese nachfolgende
Auflagerpressungen aufnehmen und weiterleiten :
Unbewehrte Betonpolster :
C20/25 � zulässige Auflagerpressung σBeton C20/25 = 0,94 kN/cm 2
C25/30 � zulässige Auflagerpressung σBeton C25/30 = 1,18 kN/cm 2
C30/37 � zulässige Auflagerpressung σBeton C30/37 = 1,42 kN/cm 2
Bewehrte Betonpolster :
C20/25 � zulässige Auflagerpressung σBeton C20/25 = 1,13 kN/cm 2
C25/30 � zulässige Auflagerpressung σBeton C25/30 = 1,42 kN/cm 2
C30/37 � zulässige Auflagerpressung σBeton C30/37 = 1,70 kN/cm 2
An einem Beispiel möchte ich Ihnen die Bemessung eines Betonpolsters erläutern !
Beispiel 1 (Auflagersituation 1) :
Gegeben : Stahlbetonbalken : b/h = 24/60 cm
maximale Auflagerkraft : VD = 350 kN
Unterstützung Mauerwerkswand : d = 24 cm
Auflagertiefe Stahlbetonbalken : LA = 25 cm
Mauerwerk : KSV – 12 – 1,2 – MG IIa (M5)
zulässige Auflagerpressung σ Mauerwerk
Seite 47
: 0,283 kN/cm 2
Gesucht : 1.1 Überprüfung der zulässigen Auflagerpressung σ Mauerwerk !
1.2 Bestimmung der erforderlichen Betondruckfestigkeitsklasse C...... !
1.3 Bemessung eines unbewehrten Betonpolsters !
Zu 1.1 :
Im ersten Schritt wird stets überprüft, ob die zulässige Auflagerpressung vom Ausgangsmaterial
nicht überschritten wird !
vorhanden σ Mauerwerk
=
350kN
24cm
* 25cm
= 0,583 kN/cm 2 > 0,283 kN/cm 2
Die zulässige Auflagerpressung wird überschritten � Betonpolster notwendig !

Zu 1.2 :
Da die Aufstandsfläche in der Fuge I, das heißt direkt unter dem Stahlbetonbalken nicht
verändert wird, muss der gewählte Beton für das Polster die vorhandene Auflagerpressung
aufnehmen können.
Die vorhandene Auflagerpressung beträgt gemäß 1.1 :
vorhanden σ Fuge I = 0,583 kN/cm 2
gewählt : Beton der Festigkeitsklasse C20/25 (unbewehrt)
Nachweis :
zulässige Auflagerpressung σBeton C20/25 = 0,94 kN/cm 2 > 0,583 kN/cm 2
Zu 1.3 :
Im ersten Schritt wird die erforderliche Aufstandsfläche in der Fuge II bemessen. Diese muss so
bemessen werden, dass die zulässige Auflagerpressung des Mauerwerks bei gleicher
Auflagerkraft nicht überschritten wird. Da die Breite des Betonpolsters durch die Breite der
Mauerwerkswand bestimmt wird, muss in der Praxis hierfür nur noch die fehlende Länge des
Betonpolsters bestimmt werden.
Ausgangsformel :
Umstellen nach LBeton :
vorhanden σ Mauerwerk
=
erforderlich L Beton
L B
Auflagerkraft
*
=
Beton
B
Seite 48
Beton
Beton
Auflagerkraft
*
zulässig _σ
≤ 0,283 kN/cm 2
Mauerwerk

350kN
erforderlich L Beton = 2
24cm
* 0,
283kN
/ cm
= 51,5 cm gewählt : L Beton = 55 cm
Die erforderliche Höhe wird mithilfe der Tangensfunktion berechnet :
erforderlich H Beton = a * tan 63,5°
a = LBeton - LA
Überstand a = 51,5 cm - 25 cm
= 26,5 cm
erforderlich H Beton = 26,5 cm * tan 63,5°
= 53,15 cm
gewählt : H Beton = Schichtmaß Mauerwerk z.B. 62,5 cm
Abmessung Betonpolster C20/25 B/H = 55 / 62,5 cm
d = 24 cm
Seite 49

Beispiel 2 (Auflagersituation 2) :
Gegeben : Stahlbetonbalken : b/h = 30/50 cm
maximale Auflagerkraft : VD = 375 kN
Unterstützung Mauerwerkswand : d = 24 cm
Mauerwerk : KSV – 12 – 1,2 – MG IIa (M5)
zulässige Auflagerpressung σ Mauerwerk
Seite 50
: 0,283 kN/cm 2
Gesucht : 2.1 Überprüfung der zulässigen Auflagerpressung σ Mauerwerk !
2.2 Bestimmung der erforderlichen Betondruckfestigkeitsklasse C...... !
2.3 Bemessung eines unbewehrten Betonpolsters !
Lösung :
Zu 2.1 :
vorhanden σ Mauerwerk
=
375kN
24cm
* 30cm
= 0,521 kN/cm 2 > 0,283 kN/cm 2
Die zulässige Auflagerpressung wird überschritten � Betonpolster notwendig !
Zu 2.2 :
gewählt : Beton der Festigkeitsklasse C20/25 (unbewehrt)
Nachweis :
zulässige Auflagerpressung σBeton C20/25 = 0,94 kN/cm 2 > 0,521 kN/cm 2

Zu 2.3 :
390kN
erforderlich L Beton = 2
24cm
* 0,
283kN
/ cm
Überstand a =
= 57,4 cm gewählt : L Beton = 58 cm
57, 4cm
− 30cm
2
= 13,7 cm
erforderlich H Beton = 13,7 cm * tan 63,5°
= 27,5 cm
gewählt : H Beton = Schichtmaß Mauerwerk z.B. 37,5 cm
Aufgabe 1 :
Abmessung Betonpolster C20/25 B/H = 58 / 37,5 cm
d = 24 cm
Gegeben : Stahlträger : HE 240 B
maximale Auflagerkraft : VD = 280 kN
Unterstützung Mauerwerkspfeiler : 24/24 cm
Mauerwerk : KSV – 12 – 1,2 – MG IIa (M5)
zulässige Auflagerpressung σ Mauerwerk
Seite 51
: 0,283 kN/cm 2
Gesucht : 1.1 Überprüfung, ob der Pfeiler aus Mauerwerk ausgeführt werden kann !
1.2 Bestimmung der erforderlichen Betondruckfestigkeitsklasse C...... , wenn
alternativ eine Betonstütze zur Ausführung kommen soll !
Aufgabe 2 :
Gegeben : Stahlträger : HE 300 B
maximale Auflagerkraft : VD = 650 kN
Unterstützung Mauerwerkspfeiler : 30/30 cm
Mauerwerk : KSV – 20 – 1,2 – MG IIa (M5)
zulässige Auflagerpressung σ Mauerwerk
: 0,34 kN/cm 2
Gesucht : 2.1 Überprüfung, ob der Pfeiler aus Mauerwerk ausgeführt werden kann !
2.2 Bestimmung der erforderlichen Betondruckfestigkeitsklasse C...... , wenn
alternativ eine Betonstütze zur Ausführung kommen soll !

Aufgabe 3 :
Gegeben : Auflagersituation : 1
Stahlträger : HE 180 B
maximale Auflagerkraft : VD = 452 kN
Auflagertiefe : LA = 20 cm
Unterstützung Mauerwerkswand : d = 24 cm
Mauerwerk : Poroton – 12 – 1,2 – MG II (M2,5)
zulässige Auflagerpressung σ Mauerwerk
Seite 52
: 2,10 N/mm 2
Gesucht : 3.1 Überprüfung der zulässigen Auflagerpressung σ Mauerwerk !
Bestimmung der erforderlichen Betondruckfestigkeitsklasse C...... für ein
bewehrtes Betonpolsters !
Berechnung der erforderlichen Abmessung für bewehrtes Betonpolster !
Aufgabe 4 :
Gegeben : Auflagersituation : 1
Stahlträger : 2x IPE 200
maximale Auflagerkraft : VD = 510 kN
Auflagertiefe : LA = 18 cm
Unterstützung Mauerwerkswand : d = 24 cm
Mauerwerk : Poroton – 12 – 1,2 – MG IIa (M5)
zulässige Auflagerpressung σ Mauerwerk
: 2,83 N/mm 2
Gesucht : 4.1 Überprüfung der zulässigen Auflagerpressung σ Mauerwerk !
4.2 Bestimmung der erforderlichen Betondruckfestigkeitsklasse C...... für ein
unbewehrtes Betonpolsters !
4.3 Berechnung der erforderlichen Abmessung für unbewehrtes Betonpolster !
Aufgabe 5 :
Gegeben : Auflagersituation : 2
Stahlbetonbalken : b/h = 40/60 cm
maximale Auflagerkraft : VD = 750 kN
Unterstützung Mauerwerkswand : d = 36,5 cm
Mauerwerk : KSV – 12 – 1,2 – MG IIa (M5)
zulässige Auflagerpressung σ Mauerwerk
: 2,83 N/mm 2

Gesucht : 5.1 Überprüfung der zulässigen Auflagerpressung σ Mauerwerk !
5.2 Bestimmung der erforderlichen Betondruckfestigkeitsklasse C...... für ein
unbewehrtes Betonpolsters !
5.3 Berechnung der erforderlichen Abmessung für unbewehrtes Betonpolster !
Aufgabe 6 :
Gegeben : Auflagersituation : 2
Stahlbetonbalken : b/h = 35/50 cm
maximale Auflagerkraft : VD = 840 kN
Unterstützung Mauerwerkswand : d = 36,5 cm
Mauerwerk : KS-P – 20 – 1,8 – MG III (M10)
zulässige Auflagerpressung σ Mauerwerk
Seite 53
: 4,25 N/mm 2
Gesucht : 6.1 Überprüfung der zulässigen Auflagerpressung σ Mauerwerk !
6.2 Bestimmung der erforderlichen Betondruckfestigkeitsklasse C...... für ein
bewehrtes Betonpolsters !
6.3 Berechnung der erforderlichen Abmessung für bewehrtes Betonpolster !
Aufgabe 7 :
Gegeben : Auflagersituation : 1
Stahlbetonbalken : b/h = 24/60 cm
maximale Auflagerkraft : VD = 760 kN
Auflagertiefe : LA = 25 cm
Unterstützung Mauerwerkswand : d = 24,0 cm
Mauerwerk : KS-P – 20 – 1,8 – MG III (M10)
zulässige Auflagerpressung σ Mauerwerk
: 4,25 N/mm 2
Gesucht : 7.1 Überprüfung der zulässigen Auflagerpressung σ Mauerwerk !
7.2 Bestimmung der erforderlichen Betondruckfestigkeitsklasse C...... für ein
bewehrtes Betonpolsters !
7.3 Berechnung der erforderlichen Abmessung für bewehrtes Betonpolster !

Aufgabe 8 :
Gegeben : Auflagersituation : 2
Stahlträger : HE 450 B
maximale Auflagerkraft : VD = 923 kN
Unterstützung Mauerwerkswand : d = 30 cm
Mauerwerk : KSV – 20 – 1,8 – MG IIa (M5)
zulässige Auflagerpressung σ Mauerwerk
Seite 54
: 0,34 kN/cm 2
Gesucht : 8.1 Überprüfung der zulässigen Auflagerpressung σ Mauerwerk !
8.2 Bestimmung der erforderlichen Betondruckfestigkeitsklasse C...... für ein
unbewehrtes Betonpolsters !
8.3 Berechnung der erforderlichen Abmessung für unbewehrtes Betonpolster !
Aufgabe 9 :
Gegeben : Auflagersituation : 2
Stahlträger : IPE 270
maximale Auflagerkraft : VD = 226 kN
Unterstützung Mauerwerkswand : d = 17,5 cm
Mauerwerk : KSV – 12 – 1,2 – MG III (M5)
zulässige Auflagerpressung σ Mauerwerk
: 0,317 kN/cm 2
Gesucht : 9.1 Überprüfung der zulässigen Auflagerpressung σ Mauerwerk !
9.2 Bestimmung der erforderlichen Betondruckfestigkeitsklasse C...... für ein
unbewehrtes Betonpolsters !
9.3 Berechnung der erforderlichen Abmessung für unbewehrtes Betonpolster !
Aufgabe 10 :
Gegeben : Auflagersituation : 1
Stahlbetonbalken : b/h = 30/40 cm
maximale Auflagerkraft : VD = 176 kN
Auflagertiefe : LA = 12,5 cm
Unterstützung Mauerwerkswand : d = 30 cm
Mauerwerk : KSL – 12 – 1,2 – MG IIa (M5)
zulässige Auflagerpressung σ Mauerwerk
: 0,283 N/mm 2

Gesucht : 10.1 Überprüfung der zulässigen Auflagerpressung σ Mauerwerk !
10.2 Bestimmung der erforderlichen Betondruckfestigkeitsklasse C...... für ein
bewehrtes Betonpolsters !
10.3 Berechnung der erforderlichen Abmessung für bewehrtes Betonpolster !
7.6 Zulässige Druckspannungen von Mauerwerk und Beton
In den Aufgaben zur Überprüfung der Auflagerpressung des Mauerwerks und der Bemessung
von Betonpolstern wurden Ihnen die zulässigen Druckspannungen (Auflagerpressungen) der
Materialien angegeben. In diesem Kapitel möchte ich Ihnen erläutern, wie die zulässigen
Druckspannungen zur Überprüfung der Auflagerpressung berechnet werden. Zuvor eine kurze
Wiederholung. Damit kurzweilige Lastüberschreitungen bzw. ungewollte Lasteinwirkungen
nicht zum sofortigen Versagen des Bauteils führen, werden in der statischen Berechnung
Sicherheiten eingebaut. Eine Sicherheit wird dadurch erreicht, indem man :
� die Einwirkungen auf ein Bauteil mit Teilsicherbeiwerten erhöht !
� die zulässigen Spannungen der Materialien durch Teilsicherheitsbeiwerte reduziert !
� Umwandlung von charakteristischen Werten (fk) in Bemessungswerten (fd)
7.6.1 Zulässige Druckspannung von Mauerwerk
Mauerwerk ist ebenfalls ein Verbundbaustoff genauso wie Stahlbeton. Die Höhe der
Tragfähigkeit beispielsweise eines Mauerwerkspfeiler ist nicht nur von Festigkeit des
Mauersteins abhängig, sondern auch von der Festigkeit des Mauermörtels. In Abhängigkeit
beider Komponenten ergibt sich nach DIN 1053-100 eine zulässige charakteristische
Druckfestigkeit fk des Mauerwerks. Diese finden Sie im Tabellenbuch auf der Seite 243 !
Beispiel :
Gegeben : Mauerstein Steinfestigkeit 12 N/mm 2
Mauermörtel MG IIa (Kalkzementmörtel)
Gesucht : zulässige charakteristische Druckfestigkeit fk
Lösung : Tabellenbuch Seite 243 :
Aufgabe 1 :
zulässige charakteristische Druckfestigkeit fk = 5,0 N/mm 2
Gegeben : Mauerstein Steinfestigkeit 20 N/mm 2
Mauermörtel MG III (Zementmörtel)
Gesucht : zulässige charakteristische Druckfestigkeit fk
Seite 55

Die Bemessungsdruckspannung σd von Mauerwerk gemäß DIN 1053-100 kann mit folgender
Formel berechnet werden :
Beispiel :
α = 0,85
γM = 1,5
Gegeben : Mauerstein Steinfestigkeit 12 N/mm 2
Mauermörtel MG IIa (Kalkzementmörtel)
Gesucht : zulässige charakteristische Druckfestigkeit fk
zulässige Bemessungsdruckfestigkeit σd
Lösung :
Tabellenbuch Seite 243 :
zulässige charakteristische Druckfestigkeit fk = 5,0 N/mm 2
zulässige Bemessungsdruckfestigkeit σd = 0,85 *
Aufgabe 2 :
= 2,833 N/mm 2
Gegeben : Mauerstein Steinfestigkeit 20 N/mm 2
Mauermörtel MG IIa (Kalkzementmörtel)
Gesucht : 2.1 zulässige charakteristische Druckfestigkeit fk
2.2 zulässige Bemessungsdruckfestigkeit σd
Aufgabe 3 :
Gegeben : Mauerstein Steinfestigkeit 12 N/mm 2
Mauermörtel MG IIIa (Kalkzementmörtel)
Gesucht : 3.1 zulässige charakteristische Druckfestigkeit fk
3.2 zulässige Bemessungsdruckfestigkeit σd
Aufgabe 4 :
zulässig σd = α *
Seite 56
zulässig _
Gegeben : Mauerstein Steinfestigkeit 8 N/mm 2
Mauermörtel MG II (Kalkzementmörtel)
Gesucht : 4.1 zulässige charakteristische Druckfestigkeit fk
4.2 zulässige Bemessungsdruckfestigkeit σd
γ
M
f k
5,
0
N / mm
1,
5
2

7.6.2 Zulässige Druckspannung von bewehrten und unbewehrten Beton
Die Bemessungswerte der zulässigen Druckspannung σcd in Abhängigkeit können gemäß DIN
1045-1 der Tabelle im Tabellenbuch Seite 259 entnommen werden. Mithilfe der
charakteristischen Zylinderdruckfestigkeit fck,zyl des Betons, kann die zulässige Bemessungsdruckspannung
σcd mit folgender Formel berechnet werden :
Beispiel 1 :
α = 0,85 ==> unbewehrten Beton
γM = 1,8 ==> unbewehrten Beton
γM = 1,5 ==> bewehrten Beton
Gegeben : Beton C20/25 unbewehrt
Gesucht : zulässige Bemessungsdruckfestigkeit σcd
Lösung :
zulässige Bemessungsdruckfestigkeit σd = 0,85 *
Beispiel 2 :
Gegeben : Beton C30/37 bewehrt
= 9,44 N/mm 2
Gesucht : zulässige Bemessungsdruckfestigkeit σcd
Lösung :
zulässige Bemessungsdruckfestigkeit σd = 0,85 *
Aufgabe 1 :
zulässig σcd = α *
Gegeben : Beton C25/30 unbewehrt
= 17,0 N/mm 2
Seite 57
zulässig _
20N
/ mm
1,
8
2
30N
/ mm
1,
5
Gesucht : 1.1 zulässige Bemessungsdruckfestigkeit σcd (bewehrt)
2.1 zulässige Bemessungsdruckfestigkeit σcd (unbewehrt)
γ
M
f k
2

7.7 Bemessung eines Stahlbetonbalkens
Ein Gleichgewicht herzustellen, durch die Berechnung von Auflagerkräften und der
nachfolgenden Dimensionierung einer tragfähigen Unterstützung ist nur ein Schritt von vielen
bei Nachweis der Tragfähigkeit eines Balkens. Hoffe sehr, dass dies Ihnen keine Kopfschmerzen
bereitet. Was aber passiert, wenn der Balken im maßgebenden Schnitt durchbricht oder das
Bauteil am Auflager vertikal abschert ? Die stärkste Unterstützung kann dieses nicht verhindern,
wenn im Zugbereich des Balkens zu wenig Bewehrung eingebaut wurde oder im
Auflagerbereich der Abstand der Bügel viel zu groß ist, sodass der Balken vertikal abscheren
kann. Damit dieses nicht geschieht, muss ein Stahlbetonbalken ausreichend bemessen werden.
Die Fragen die sich hier stellen lauten :
1. Welche Kräfte (Schnittgrößen) entstehen, wenn sich ein Balken verformt ?
2. Wie lassen sich diese Kräfte (Schnittgrößen) berechnen ?
3. Wie wird in der Praxis eine ausreichende Biegezugbewehrung bemessen ?
4. Wie wird in der Praxis eine ausreichende Bügelbewehrung bemessen ?
7.7.1 Maßgebende Schnittgrößen zur Bemessung eines Stahlbetonbalkens
Das Prinzip Bemessung basiert immer auf das gleiche Verfahren. Bestimmung der maßgebenden
Kräfte und den daraus resultierenden vorhandenen Spannungen mit einer anschließenden
Gegenüberstellung mit einer zulässigen Spannung. Aufgrund der äußerlichen Einwirkung auf
einen Balken, besitzt dieser das Bestreben sich zu verformen. Verformungen führen zu
Spannungen im Bauteil. Im Feld und im Bereich von Innenstützen sind dies Zug- und
Druckspannungen und zusätzlich im Bereich von Unterstützungen sogenannte Schubspannungen
(Siehe Kapitel 4.). Aufgabe des Statikers ist es, diese vorhandene Spannungen zu berechnen und
mit zulässigen Spannungen der Materialien Beton und Betonstahl zu vergleichen. Spannungen
können nur berechnet werden, wenn zum einen eine Kraft vorhanden ist und zum zweiten ein
Querschnitt. Der Querschnitt ergibt sich aus den Abmessungen des Balkens ABeton und der
eingebauten Bewehrung AStahl. Aber wie kommt der Statiker an die maßgebenden Kräfte ?
Seite 58

Betrachten wir uns dazu noch einmal das Tragverhalten von einem Balken auf zwei Stützen mit
einer gleichmäßigen Streckenlast.
Aufgrund der Verformung stellt sich im Bauteil folgendes Rissbild ein :
Risse in einem Bereich entstehen dann, wenn die Zugspannung aufgrund der Verformung nicht
mehr vom Beton aufgenommen werden können und eine Bewehrung erforderlich wird.
Schneidet man das Bauteil an irgendeiner Stelle im Feld auf, so können unabhängig von der
tatsächlichen Verformung folgende Kräfte im inneren des Balkens frei werden :
Biegemoment MY � Verantwortlich für die Biegezugrisse am unteren
Randbereich des Balkens
Querkraft VZ � Verantwortlich für die Schubrisse im Auflagerbereich
Die Normalkraft NX würde dann zur Geltung kommen, wenn konstant über die ganze Höhe am
Balken gezogen oder gedrückt wird. Der Begriff „Schnittgröße“ stammt daher, dass bei der
Seite 59

Berechnung der maßgebenden inneren Kräfte das Bauteil aufgeschnitten wird. Also nichts
kompliziertes. Für die Bemessung der Biegezugbewehrung im Feld benötigt der Statiker die
maximale Schnittgröße MY und für die Bemessung der Bügel im Auflagerbereich die maximale
Querkraft VZ.
Die Berechnung der Schnittgrößen erfolgt analog zur Berechnung der Auflagerkräfte mithilfe der
drei Gleichgewichtsbedingungen :
Dabei müssen die inneren Schnittgrößen mit der äußerlichen Einwirkung und den zuvor
bestimmten Auflagerkräften im Gleichgewicht stehen !
Die Berechnung der Schnittgrößen erfolgt wahlweise mithilfe des linken oder des rechten
Schnittufers. In der Praxis kommt aber das linke Schnittufer mehr zur Anwendung als das
Rechte. Überlegen Sie mal warum ! Beim Aufschneiden des Bauteils werden die unbekannten
Schnittgrößen gemäß Vorzeichenregelung im Schnitt angetragen. Dabei wirkt die unbekannte
Querkraft positiv von oben nach unten. Das unbekannte Biegemoment dreht positiv linksherum
und die unbekannte Normalkraft (falls vorhanden) positiv von links nach rechts. Damit im
Schnitt ein Gleichgewicht herrscht, ist der Verlauf der unbekannten Schnittgrößen am rechten
Schnittufer entgegengesetzt. Schneidet man das Bauteil am ganz vielen Stellen im System auf
und berechnet jeweils die unbekannten Schnittgrößen, so ergibt sich der nachfolgende
Schnittgrößenverlauf :
Seite 60
Linearer Querkraftverlauf
Parabelförmiger Momentenverlauf

Vergleicht man die Zustandslinien mit dem Rissbild, so kommt man zu einer Übereinstimmung.
Da das System aufgrund der Symmetrie sich in der Mitte am meisten durchbiegt, muss
zwangsläufig auch in Feldmitte das betragsmäßig größte Biegemoment My sein. Ebenso der
Querkraftverlauf. Schubrisse entstehen im Auflagerbereich, demzufolge muss auch am Auflager
die betragsmäßig größte Querkraft VZ sein. Beim Querkraftverlauf ergeben sich sowohl positive
Querkräfte als auch Negative. Diese Werte resultieren aus der Vorzeichenregelung. Für die
Bemessung der Bügel zählt nicht das Vorzeichen, sondern nur der Betrag. Betrachten wir uns
den Verlauf der Schnittgrößen an einem Balken mit einer Einzellast in Feldmitte :
Würde man das Rissbild des Balkens daraus entwickeln müssen, so würde man zum selben
Rissbild gelangen, wie im Beispiel zuvor.
Der Balken würde sich ebenso in der Mitte des System am meisten durchbiegen und die
Abschergefahr am Auflager am größten sein, da am Auflager stets der größte Gegendruck wirkt.
Seite 61
Konstanter Querkraftverlauf
Linearer Momentenverlauf

Beim Vergleich der Zustandslinien beider Beispiele, lassen sich zwischen Momentenverlauf,
Querkraftverlauf und der Einwirkung wichtige statische Zusammenhänge ableiten. Setzten wir
dafür einmal für die Strecken- und Einzeleinwirkung als auch für die statische Systemlänge
Werte ein !
Vergleich der Zustandslinien System 1 und 2 :
Seite 62

Statische Gesetzmäßigkeiten :
1. Gesetzmäßigkeit (System 1)
Im Bereich einer Streckeneinwirkung
� Querkraftverlauf linear (Funktion 1. Ordnung)
� Momentenverlauf parabelförmig (Funktion 2. Ordnung)
2. Gesetzmäßigkeit (System 2)
Im Bereich ohne Einwirkung
� Querkraftverlauf konstant
� Momentenverlauf linear (Funktion 1. Ordnung)
3. Gesetzmäßigkeit (System 1 + 2)
Am linken Endauflager � Querkraft positiv gleich der Auflagerkraft !
Am rechten Endauflager � Querkraft negativ gleich der Auflagerkraft !
4. Gesetzmäßigkeit (System 1)
Im Bereich einer Streckeneinwirkung reduziert sich die Querkraft um den Betrag der
resultierenden Einzeleinwirkung !
5. Gesetzmäßigkeit (System 2)
An der Stelle einer Einzeleinwirkung macht die Querkraft einen Sprung um den Betrag der
Einzeleinwirkung entgegengesetzt der Einwirkungsrichtung !
6. Gesetzmäßigkeit (System 2)
Dieses Gesetz ist für den Statiker, was die Bemessung eines Bauteils betrifft, das wichtigste !!!!
An der Stelle wo die Querkraft das Vorzeichen wechselt, ist immer die größte
Durchbiegung und somit stets das größte Biegemoment !
7. Gesetzmäßigkeit (System 2)
Auf der Seite wo die Momentenlinie verläuft, ergeben sich im Bauteil immer Zugspannungen !
Seite 63

7.7.2 Einfluss der Biegezugbewehrung auf die Rissbreite wcal
Risse im Beton lassen sich nicht verhindern. Ganz im Gegenteil, der Beton muss reißen, wenn
die eingebaute Bewehrung einen Sinn machen soll. Um den Korrosionsschutz der Bewehrung
nicht zu gefährden muss die Rissbreite gemäß DIN 1045-1 in Abhängigkeit der Beanspruchung
beschränkt werden. Für Bauteile im normalen Hochbau unter normalen Umweltbedingungen
darf gemäß DIN 1045-1 folgende Rissbreite nicht überschritten werden :
Wcal ≤ 0,4 mm
Für Bauteile unter Wasser (WU-Beton) ist die zulässige Rissbreite von 0,1 – 0,2 mm zu
beschränken ! Welchen Einfluss besitzt die eingebaute Bewehrung auf die Rissbreite ? Für die
Auswahl der Bewehrung für eine Stahlbetonbauteil gilt in der Praxis folgender Grundsatz :
Lieber viele Betonstähle mit geringem Durchmesser, als wenige Betonstähle mit großem
Durchmesser !
Die Antwort dazu unterliegt zwei Gründe, die Sie sicher nachvollziehen werden.
Beispiel : Ein Stahlbetonbalken kann alternativ entweder mit 2 ∅ 20 mm oder mit
4 ∅ 14 mm bewehrt werden
1. Beim Einbau von 4 ∅ 14 mm muss jeder Betonstahl nur 25 % der Bemessungszugkraft
FS aufnehmen im Vergleich zu 2 ∅ 20 mm, wo jeder Betonstahl 50 % der
Bemessungszugkraft FS aufnehmen muss. Das heißt, die Bemessungszugkraft FS wird
beim Einbau von 4 ∅ 14 mm auf eine viel größere Oberfläche verteilt, wodurch die
Rissbreite vermindert wird.
4 ∅ 14 mm � AOberfläche = 17,59 cm 2
2 ∅ 20 mm � AOberfläche = 12,57 cm 2
2. Der Rippenabstand als auch die Rippenhöhe bei einem Durchmesser 14 mm ist viel
geringer, als bei einem Durchmesser 20 mm. Bei weiterer Durchbiegung des
Stahlbetonbalkens wird ein Teil der Zugkraft im Stahl wieder in den Beton eingeleitet.
Der Abstand der Risse beim Einbau von 4 ∅ 14 mm wird zwar kleiner, aber dafür auch
die Rissbreite.
Begründung :
Durch die geringe Rippenhöhe kann nur ein geringer Teil der Zugkraft
vom Betonstahl wieder in den Beton eingeleitet werden.
2.2 Die eingeleitete Zugkraft in den Beton ist ebenfalls geringer, weil die gesamte
Bemessungszugkraft FD,Z zuvor auf vier Betonstähle ∅ 14 mm verteilt wurde
anstatt auf zwei Betonstähle ∅ 20 mm.
Seite 64

7.7.3 Betondeckung cnom bzw. Verlegemaß cv
Damit die eingebaute Bewehrung vor Korrosion geschützt wird, muss diese ein Abstand gemäß
DIN 1045-1 zur Außenseite des Bauteils einhalten. Dieser Abstand wird in der Praxis als
Betondeckung bezeichnet. Das Maß der Betondeckung ist dabei von zwei Kriterien abhängig :
1. Expositionsklasse
2. Stabdurchmesser der Biegezugbewehrung bzw. vom Bügeldurchmesser
Sowohl der Bügel als auch die Biegezugbewehrung muss ausreichend gegen Korrosion geschützt
werden. Da in der Praxis in der Regel der Durchmesser des Bügels geringer ist als der
Durchmesser der Biegezugbewehrung muss das maßgebende Verlegemaß cv ermittelt werden.
Der Abstand der Bewehrung wird durch Abstandhalter aus Kunststoff gewährleistet. Diese
werden unterhalb bzw. seitlich an den Bügeln befestigt.
Maße der Abstandhalter : � 2,0 cm
� 2,5 cm
� 3,0 cm
� 3,5 cm
� 4,0 cm
� 4,5 cm
� 5,0 cm
� 5,5 cm
Beispiel 1 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 30/50 cm
Expositionsklasse : XC3
Gesucht : Verlegemaß Cv
Biegezugbewehrung : ∅ 16 mm
Bügelbewehrung : ∅ 8 mm
Lösung : Gemäß Tabellenbuch Seite 264 !
∅ 16 mm � Cnom = 3,5 cm
∅ 8 mm � Cnom = 3,5 cm
Da die erforderliche Betondeckung Cnom für beide Durchmesser
mindestens 3,5 cm beträgt, ergibt sich das Verlegemaß Cv ebenso zu 3,5
cm. Der Abstand der Biegezugbewehrung beträgt demzufolge sogar
� 3,5 cm + 0,8 cm = 4,3 cm > 3,5 cm
Somit ist der Bügel als auch die Biegezugbewehrung ausreichend gegen
Korrosion geschützt !
Seite 65

Beispiel 2 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 30/50 cm
Expositionsklasse : XC1
Gesucht : Verlegemaß Cv
Biegezugbewehrung : ∅ 16 mm
Bügelbewehrung : ∅ 8 mm
Lösung : Gemäß Tabellenbuch Seite 264 !
∅ 16 mm � Cnom = 3,0 cm
∅ 8 mm � Cnom = 2,0 cm
Da die erforderliche Betondeckung Cnom für beide Durchmesser
unterschiedlich ist, muss überprüft werden, welcher Durchmesser für
das erforderliche Verlegemaß Cv maßgebend wird !
Überprüfung Verlegemaß Cv = 2,0 cm
Bei einem Verlegemaß vom 2,0 cm wäre in diesem Beispiel nur der
Bügel geschützt. Da die Abstandhalter unterhalb der Bügel angeordnet
werden, würde die Betondeckung für die Biegezugbewehrung nur 2,8
cm betragen anstatt der notwendigen 3,0 cm.
Überprüfung Verlegemaß Cv = 2,5 cm
Nachweis Bügel :
Verlegemaß Cv = 2,5 cm > Cnom = 2,0 cm
Nachweis Biegezugbewehrung :
Verlegemaß Cv = 2,5 cm
� Cnom = 2,5 cm + 0,8 cm = 3,3 cm > erforderlich Cnom = 3,0 cm
Bei einem Verlegemaß Cv vom 2,5 cm wäre sowohl der Bügel als auch
die Biegezugbewehrung vor Korrosion geschützt.
Seite 66

7.7.4 Überprüfung des Mindestabstandes „a“ der Biegezugbewehrung
Der Verbundbaustoff Stahlbeton funktioniert nur, wenn die eingebaute Bewehrung vollständig
mit Beton ummantelt ist. Dies bedeutet, dass der Abstand der Bewehrung nebeneinander ein
gewisses Maß „a“ nicht unterschreiten darf. Ebenso müssen speziell bei der oberen Bewehrung
(Stützbewehrung) Rüttelgassen geplant werden, damit der gesamte Beton auch im unteren
Bereich ausreichend verdichtet werden kann. Gemäß DIN 1045-1 beträgt der Mindestabstand
„a“ bei der Bewehrung von Stahlbetonbalken mindestens dem Durchmesser der größten
Biegezugbewehrung, mindestens aber 2,0 cm.
Der Mindestabstand a kann mit folgender Formel berechnet werden :
Abstand a =
b = Balkenbreite
Cnom = Betondeckung
b − 2*
Cnom
− 2 * Durchmesser,
Bügel − n * Durchmesser,
Biegezugbewehrung
n −1
n = Anzahl Betonstähle der Biegezugbewehrung
Seite 67

Beispiel 1 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 24/60 cm
Expositionsklasse : XC3
Biegezugbewehrung : 4 ∅ 16 mm
Bügelbewehrung : ∅ 6 mm
Gesucht : Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
Lösung :
Abstand a =
Nachweis erbracht !
Aufgabe 1 :
24cm
− 2 * 3,
5cm
− 2*
0,
6cm
− 4*
1,
6cm
4 −1
Seite 68
= 3,13 cm > 2,0 cm
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 30/55 cm
Expositionsklasse : XC4
Biegezugbewehrung : 5 ∅ 20 mm
Bügelbewehrung : ∅ 10 mm
Gesucht : Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
Aufgabe 2 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 17,5/24 cm
Expositionsklasse : XC1
Biegezugbewehrung : 3 ∅ 12 mm
Bügelbewehrung : ∅ 6 mm
Gesucht : Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
Aufgabe 3 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C30/37 : b/h = 40/60 cm
Expositionsklasse : XD1
Biegezugbewehrung : 2 ∅ 20 mm +6 ∅ 14 mm
Bügelbewehrung : ∅ 12 mm
Gesucht : Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung

Aufgabe 4 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 30/60 cm
Expositionsklasse : XC2
Biegezugbewehrung : 2 ∅ 16 mm +3 ∅ 12 mm
Bügelbewehrung : ∅ 8 mm
Gesucht : Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
Aufgabe 5 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C35/45 : b/h = 80/120 cm
Expositionsklasse : XD3
Biegezugbewehrung : 8 ∅ 20 mm +10 ∅ 14 mm
Bügelbewehrung : ∅ 14 mm
Gesucht : Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
Aufgabe 6 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 35/40 cm
Expositionsklasse : XC3
Bügelbewehrung : ∅ 8 mm
Gesucht : Maximale Anzahl ∅ 14mm der Biegezugbewehrung
Aufgabe 7 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 30/50 cm
Expositionsklasse : XC1
Bügelbewehrung : ∅ 6 mm
Gesucht : Maximale Anzahl ∅ 16 mm der Biegezugbewehrung
Aufgabe 8 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 24/60 cm
Expositionsklasse : XC1
Bügelbewehrung : ∅ 8 mm
Gesucht : Maximale Anzahl ∅ 12 mm der Biegezugbewehrung
Seite 69

7.7.5 Bemessung der Biegezugbewehrung mithilfe der Zugkraft FD,Z
Die einfachste Art der Bemessung der Biegezugbewehrung erfolgt mithilfe der maßgebenden
Zugkraft an der Stelle der maximalen Durchbiegung im System. Dabei muss der Gesamt-
Querschnitt der Bewehrung so groß sein, dass die vorhandene Stahlspannung σS nicht
überschritten wird.
vorhandene Stahlspannung σS
σS = Stahlspannung
FS = maßgebende Bemessungszugkraft
AS = Querschnitt der Bewehrung (Bewehrungsgehalt)
=
F S
≤ zulässige Stahlspannung σS
A
S
Die zulässige Stahlspannung ergibt sich aus der Streckgrenze des Betonstahls abgemindert durch
einen Sicherheitsfaktor gemäß DIN 1045-1. Für die Bemessung der Biegezugbewehrung mithilfe
eines Betonstahl BSt 500 S (A) ergibt sich somit die zulässige Stahlspannung σS :
Beispiel :
zulässige Stahlspannung σS
=
50kN
/ cm
1,
15
Seite 70
2
= 43,5 kN/cm 2
Gegeben : Stahlbetonbalken : b/h = 30/50 cm
maßgebende Bemessungszugkraft FS : 275 kN
Betonstahl : BSt 500 S (A)
vorhandene Zugbewehrung AS : 5 ∅ 14 mm
Gesucht : Überprüfung der zulässigen Stahlspannung σS
Lösung :
Bewehrung 5 ∅ 14 mm � 7,70 cm 2 (Tabellenbuch S. 273 )
vorhandene Stahlspannung σS = 2
Vorhandene Biegezugbewehrung ist ausreichend bemessen !
275kN
2 2
= 35,7 kN/cm < 43,5 kN/cm
7,
70cm

Aufgabe 1 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 24/50 cm
maßgebende Bemessungszugkraft FS : 226 kN
Betonstahl : BSt 500 S (A)
vorhandene Zugbewehrung AS : 3 ∅ 16 mm
Gesucht : Überprüfung der zulässigen Stahlspannung σS
Aufgabe 2 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 17,5/24 cm
maßgebende Bemessungszugkraft FS : 126 kN
Betonstahl : BSt 500 S (A)
vorhandene Zugbewehrung AS : 3 ∅ 12 mm
Gesucht : Überprüfung der zulässigen Stahlspannung σS
Aufgabe 3 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 40/60 cm
maßgebende Bemessungszugkraft FS : 552 kN
Betonstahl : BSt 500 S (A)
vorhandene Zugbewehrung AS : 2 ∅ 20 mm +
6 ∅ 12 mm
Gesucht : Überprüfung der zulässigen Stahlspannung σS
Aufgabe 4 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C30/37 : b/h = 35/50 cm
maßgebende Bemessungszugkraft FS : 570 kN
Betonstahl : BSt 500 S (A)
vorhandene Zugbewehrung AS : 2 ∅ 20 mm +
3 ∅ 10 mm
Gesucht : Überprüfung der zulässigen Stahlspannung σS
Seite 71

Bei der Neubemessung eines Stahlbetonbalkens macht es wenig Sinn, zuvor einen
Bewehrungsquerschnitt zu schätzen, um dann im zweiten Schritt die vorhandene Stahlspannung
zu berechnen und diese mit der zulässigen Stahlspannung zu vergleichen. Mithilfe der zulässigen
Stahlspannung σS und der maßgebenden Bemessungszugkraft FS kann der erforderliche
Bewehrungsgehalt AS sofort berechnet werden :
Beispiel 1 :
erforderlicher Bewehrungsgehalt AS
Seite 72
=
F
D,
Z
zulässigσ
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 30/50 cm
maßgebende Bemessungszugkraft FS : 315 kN
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Gesucht : erforderlicher Bewehrungsgehalt AS
Lösung :
315kN
erforderlicher Bewehrungsgehalt AS = 2
43,
5kN
/ cm
Beispiel 2 :
= 7,24 cm 2
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 24/50 cm
maßgebende Bemessungszugkraft FS : 286 kN
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Gesucht : Anzahl der Betonstähle ∅ 12 mm
Lösung :
286kN
erforderlicher Bewehrungsgehalt AS = 2
43,
5kN
/ cm
= 6,57 cm 2
Es müssen so viele Betonstähle eingebaut werden, sodass der vorhandene Bewehrungsgehalt AS
mindestens 6,57 cm 2 beträgt !
Tabellenbuch Seite 273 : erforderliche 6 ∅ 12 mm
6,79 cm 2 > 6,57 cm 2
S

Aufgabe 1 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 24/50 cm
maßgebende Bemessungszugkraft FS : 354 kN
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Gesucht : erforderlicher Bewehrungsgehalt AS
Aufgabe 2 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 30/50 cm
maßgebende Bemessungszugkraft FS : 645 kN
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Gesucht : erforderlicher Bewehrungsgehalt AS
Aufgabe 3 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C30/37 : b/h = 17,5/55 cm
maßgebende Bemessungszugkraft FD,Z : 176 kN
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Gesucht : erforderlicher Bewehrungsgehalt AS
Aufgabe 4 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 60/80 cm
maßgebende Bemessungszugkraft FS : 1200 kN
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Gesucht : erforderlicher Bewehrungsgehalt AS
Aufgabe 5 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 40/60 cm
maßgebende Bemessungszugkraft FS : 850 kN
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Gesucht : erforderlicher Bewehrungsgehalt AS
Seite 73

Aufgabe 6 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 24/50 cm
maßgebende Bemessungszugkraft FS : 266 kN
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Gesucht : Anzahl der Betonstähle ∅ 14 mm
Aufgabe 7 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 30/55 cm
maßgebende Bemessungszugkraft FS : 412 kN
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Gesucht : Anzahl der Betonstähle ∅ 16 mm
Aufgabe 8 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 40/60 cm
maßgebende Bemessungszugkraft FS : 812 kN
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Gesucht : Anzahl der Betonstähle 2 ∅ 25 mm + n ∅ 16 mm
Aufgabe 9 :
Gegeben : Stahlbetonbalken : b/h = 45/65 cm
maßgebende Bemessungszugkraft FS : 634 kN
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Gesucht : Anzahl der Betonstähle 2 ∅ 20 mm + n ∅ 14 mm
Aufgabe 10 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 30/45 cm
maßgebende Bemessungszugkraft FS : 312 kN
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Gesucht : Anzahl der Betonstähle 2 ∅ 16 mm + n ∅ 12 mm
Seite 74

Aufgabe 11 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 17,5/24 cm
maßgebende Bemessungszugkraft FS : 98 kN
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Gesucht : Anzahl der Betonstähle ∅ 12 mm
Aufgabe 12 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 60/60 cm
maßgebende Bemessungszugkraft FS : 523 kN
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Gesucht : Anzahl der Betonstähle 2 ∅ 20 mm + n ∅ 12 mm
Aufgabe 13 :
Gegeben : Stahlbetonbalken : b/h = 40/60 cm
maßgebende Bemessungszugkraft FS : 476 kN
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Gesucht : Anzahl der Betonstähle 2 ∅ 16 mm + n ∅ 14 mm
Aufgabe 14 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 24/60 cm
maßgebende Bemessungszugkraft FS : 264 kN
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Gesucht : Anzahl der Betonstähle ∅ 16 mm
Aufgabe 15 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 24/55 cm
maßgebende Bemessungszugkraft FS : 333 kN
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Gesucht : Anzahl der Betonstähle 2 ∅ 20 mm + n ∅ 10 mm
Seite 75

Die Frage die noch geklärt werden muss lautet :
Wie kommt der Statiker an die Bemessungszugkraft FS ?
Die Frage ist berechtigt, da der Statiker bei der Berechnung der notwendigen Schnittgröße zur
Bemessung der Biegezugbewehrung nicht die Bemessungszugkraft FS ermittelt, sondern das
Biegemoment My.
Dieses Biegemoment erzeugt je nach Drehrichtung auf der einen Bauteilseite eine Zugspannung
und auf der anderen Bauteilseite eine Druckspannung. Wo Spannungen erzeugt werden, müssen
auch Kräfte vorhanden sein. Mithilfe des Biegemomentes My kann die daraus resultierende Zug-
als auch Druckkraft berechnet werden :
FC = Bemessungsdruckkraft
FS = Bemessungszugkraft
z = Innere Hebelarm (Abstand von Zug- und Druckkraft)
FS = FC =
Im Rahmen einer Vorbemessung und unabhängig von der Betondruckfestigkeit kann der innere
Hebelarm folgendermaßen bestimmt werden :
Seite 76
M y
Innere Hebelarm z = 0,85 * d
z

Der Hebelarm der inneren Kräfte ist dabei von der statischen Nutzhöhe d abhängig. Die statische
Nutzhöhe d beschreibt den Abstand vom Biegedruckrand bis zum Schwerachse der
Biegezugbewehrung.
Die statische Nutzhöhe für ein Stahlbetonbalken kann mit folgender Formel berechnet werden :
statische Nutzhöhe d = Balkenhöhe h – Cv - ∅ Bügel– ½* ∅ Biegezugbewehrung
Beispiel 1 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 30/50 cm
Verlegemaß Cv : 2,0 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegezugbewehrung : 4 ∅ 12 mm
Bügelbewehrung : ∅ 6 mm
Gesucht : � Berechnung der statischen Nutzhöhe d
� Berechnung des inneren Hebelarms z
Lösung :
statische Nutzhöhe d = 50 cm – 2,0 cm – 0,6 cm – ½ * 1,2 cm
= 46,8 cm
Innere Hebelarm z = 0,85 * 46,8 cm
= 39,8 cm
Seite 77

Beispiel 2 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 30/55 cm
Verlegemaß Cv : 3,5 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 205 kNm
Biegezugbewehrung : 6 ∅ 16 mm
Bügelbewehrung : ∅ 8 mm
Gesucht : � Berechnung der statischen Nutzhöhe d
� Berechnung des inneren Hebelarms z
� Berechnung der Bemessungszugkraft FS
� Überprüfung der zulässigen Stahlspannung σS
Lösung :
statische Nutzhöhe d = 55 cm – 3,5 cm – 0,8 cm – ½ * 1,6 cm
= 49,9 cm
Innere Hebelarm z = 0,85 * 49,9 cm
Bemessungszugkraft FS
= 42,4 cm
=
205kNm
0,
424m
= 484 kN
6 ∅ 16 mm ==> 12,1 cm 2
484kN
12,
1cm
vorhandene Stahlspannung σS = 2
Tragfähigkeit gewährleistet !
= 40 kN/cm 2 < 43,5 kN/cm 2
Seite 78

Aufgabe 1 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 24/40 cm
Verlegemaß Cv : 2,0 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegezugbewehrung : 4 ∅ 14 mm
Bügelbewehrung : ∅ 6 mm
Gesucht : � Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
� Berechnung der statischen Nutzhöhe d
� Berechnung des inneren Hebelarms z
Aufgabe 2 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 24/45 cm
Verlegemaß Cv : 2,5 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegezugbewehrung : 4 ∅ 16 mm
Bügelbewehrung : ∅ 8 mm
Gesucht : � Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
� Berechnung der statischen Nutzhöhe d
� Berechnung des inneren Hebelarms z
Aufgabe 3 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 40/45 cm
Verlegemaß Cv : 4,0 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegezugbewehrung : 2 ∅ 20 mm + 4 ∅ 16 mm
Bügelbewehrung : ∅ 8 mm
Gesucht : � Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
� Berechnung der statischen Nutzhöhe d
� Berechnung des inneren Hebelarms z
� Berechnung der zulässigen Bemessungszugkraft FS
Aufgabe 4 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 35/50 cm
Verlegemaß Cv : 4,0 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegezugbewehrung : 2 ∅ 20 mm + 5 ∅ 12 mm
Bügelbewehrung : ∅ 8 mm
Gesucht : � Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
� Berechnung der statischen Nutzhöhe d
� Berechnung des inneren Hebelarms z
� Berechnung der zulässigen Bemessungszugkraft FS
Seite 79

Aufgabe 5 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 30/60 cm
Verlegemaß Cv : 2,0 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 287 kNm
Biegezugbewehrung : 7 ∅ 16 mm
Bügelbewehrung : ∅ 10 mm
Gesucht : � Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
� Berechnung der statischen Nutzhöhe d
� Berechnung des inneren Hebelarms z
� Überprüfung der zulässigen Stahlspannung σS
Aufgabe 6 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C30/37 : b/h = 40/80 cm
Verlegemaß Cv : 3,5 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 412 kNm
Biegezugbewehrung : 2 ∅ 20 mm + 5 ∅ 16 mm
Bügelbewehrung : ∅ 8 mm
Gesucht : � Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
� Berechnung der statischen Nutzhöhe d
� Berechnung des inneren Hebelarms z
� Überprüfung der zulässigen Stahlspannung σS
Aufgabe 7 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 35/65 cm
Verlegemaß Cv : 4,0 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 412 kNm
Biegezugbewehrung : 2 ∅ 25 mm + 6 ∅ 14 mm
Bügelbewehrung : ∅ 8 mm
Gesucht : � Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
� Berechnung der statischen Nutzhöhe d
� Berechnung des inneren Hebelarms z
� Überprüfung der zulässigen Stahlspannung σS
Seite 80

Aufgabe 8 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 30/55 cm
Verlegemaß Cv : 2,5 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 260 kNm
Biegezugbewehrung : n ∅ 20 mm
Bügelbewehrung : ∅ 8 mm
Gesucht : � Berechnung der statischen Nutzhöhe d
� Berechnung des inneren Hebelarms z
� Anzahl der Betonstähle ∅ 20 mm
� Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
Aufgabe 9 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 30/60 cm
Verlegemaß Cv : 3,5 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 180 kNm
Biegezugbewehrung : n ∅ 16 mm
Bügelbewehrung : ∅ 6 mm
Gesucht : � Berechnung der statischen Nutzhöhe d
� Berechnung des inneren Hebelarms z
� Anzahl der Betonstähle ∅ 16 mm
� Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
Aufgabe 10 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 40/60 cm
Verlegemaß Cv : 3,5 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 180 kNm
Biegezugbewehrung : 2 ∅ 20 mm + n ∅ 12 mm
Bügelbewehrung : ∅ 10 mm
Gesucht : � Berechnung der statischen Nutzhöhe d
� Berechnung des inneren Hebelarms z
� Zusätzliche Anzahl der Betonstähle ∅ 12 mm
� Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
Seite 81

Aufgabe 11 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 35/55 cm
Verlegemaß Cv : 3,5 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 145 kNm
Biegezugbewehrung : n ∅ ≤ 14 mm
Bügelbewehrung : ∅ 10 mm
Gesucht : � Berechnung der statischen Nutzhöhe d
� Berechnung des inneren Hebelarms z
� Anzahl der Betonstähle ∅ ≤ 14 mm
� Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
Aufgabe 12 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 24/55 cm
Expositionsklasse : XC1
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 112 kNm
Biegezugbewehrung : n ∅ ≤ 16 mm
Bügelbewehrung : ∅ 6 mm
Gesucht : � Bemessung der Biegezugbewehrung
Aufgabe 13 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 30/50 cm
Expositionsklasse : XC2
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 146 kNm
Biegezugbewehrung : n ∅ ≤ 16 mm
Bügelbewehrung : ∅ 8 mm
Gesucht : � Bemessung der Biegezugbewehrung
Aufgabe 14 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 40/60 cm
Expositionsklasse : XC4
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 412 kNm
Biegezugbewehrung : n ∅ ≤ 20 mm
Bügelbewehrung : ∅ 8 mm
Gesucht : � Bemessung der Biegezugbewehrung
Seite 82

Aufgabe 15 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 17,5/24 cm
Expositionsklasse : XC1
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 25 kNm
Biegezugbewehrung : n ∅ ≤ 20 mm
Bügelbewehrung : ∅ 6 mm
Gesucht : � Bemessung der Biegezugbewehrung
Aufgabe 16 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 24/24 cm
Expositionsklasse : XC1
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 16 kNm
Biegezugbewehrung : n ∅ ≤ 20 mm
Bügelbewehrung : ∅ 6 mm
Gesucht : � Bemessung der Biegezugbewehrung
Aufgabe 17 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 24/48 cm
Expositionsklasse : XC2
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 56 kNm
Biegezugbewehrung : n ∅ ≤ 20 mm
Bügelbewehrung : ∅ 6 mm
Gesucht : � Bemessung der Biegezugbewehrung
Aufgabe 18 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 40/60 cm
Expositionsklasse : XC4
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 326 kNm
Biegezugbewehrung : n ∅ ≤ 20 mm
Bügelbewehrung : ∅ 6 mm
Gesucht : � Bemessung der Biegezugbewehrung
Seite 83

7.7.6 Bemessung der Biegezugbewehrung mithilfe des kd-Verfahrens
Die Bemessung mithilfe des kd-Verfahrens ist die wirtschaftlichste Bemessungsform für die
Ermittlung der Biegezugbewehrung von Stahlbetonbauteilen, die auf Biegung beansprucht
werden. Bei diesem Verfahren spielt ebenfalls der innere Hebelarm die entscheidende Rolle,
weil von dessen Größe auch die Größe der Bemessungszugkraft FS abhängig ist. Im Kapitel
zuvor, wurde der innere Hebelarm z pauschal mit 0,85 * d ermittelt. Die Größe des Hebelarms ist
aber dabei von zwei entscheidenden Kriterien abhängig :
���� von der Betondruckfestigkeit
���� von der Breite der Druckzone
Die Antwort dafür ist aus meiner Sicht eindeutig. Je größer die Betondruckfestigkeitsklasse und
je breiter die Druckzone, umso geringer ist der Abstand der resultierenden
Bemessungsdruckkraft FC vom Biegedruckrand. Dadurch vergrößert sich ebenfalls der innere
Hebelarm z, da die Bemessungszugkraft FS durch die Lage der Bewehrung festgesetzt ist.
Dies ist auch die Begründung, warum bei einem Unterzug der Bewehrungsgehalt geringer ist als
bei einem Überzug, bei gleicher Betondruckfestigleitsklasse und gleichem Balkenquerschnitt.
Bei einem Unterzug wird ein nicht wesentlicher Anteil der Bemessungsdruckkraft FC von der
Deckenplatte aufgenommen hat. Dies hat zur Folge, dass der Schwerpunkt der Druckfläche und
somit auch die Bemessungsdruckkraft FC mehr zum Biegedruckrand verschoben wird. Die
Bemessung der Biegezugbewehrung mithilfe des kd-Verfahrens ist dimensionsgebunden. Das
bedeutet für Sie Einheitengefahr. Gefahr deshalb, weil die Einheiten bei Ermittlung überhaupt
nicht zusammen passen. Die dimensionsgebundene Bemessungstafel finden Sie im Tabellenbuch
auf der Seite 261 ! Die Vorgehensweise ist sehr einfach. Im ersten Schritt wird der kd-Faktor
ermittelt. Mithilfe des kd-Faktors kann im zweiten Schritt aus der Bemessungstafel ein kS-Faktor
abgelesen werden. Dieser wird benötigt, um dann im dritten Schritt die Biegezugbewehrung zu
ermitteln. Nachfolgend werden noch mal die drei Schritte und die dazugehörigen Formeln für
Stahlbetonbauteile mit reiner Biegebeanspruchung zusammengefasst:
Seite 84

1. Schritt : � Berechnung kd-Faktor
kd = d *
Seite 85
Druckzone
bDruckzone � Breite der Druckzone (m)
d � statische Nutzhöhe (cm)
My,d � Bemessungsbiegemoment (kNm)
2. Schritt : � Ablesen kS-Faktor aus der Bemessungstafel
3. Schritt : � Berechnung der erforderlichen Biegezugbewehrung AS
AS = kS *
b
M
d
y,
d
M y, d
kS � Faktor aus der Bemessungstafel (Einheitenlos)
d � statische Nutzhöhe (cm)
My,d � Bemessungsbiegemoment (kNm)
Beispiel :
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 35/55 cm
Verlegemaß Cv : 3,5 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 145 kNm
Biegezugbewehrung (Annahme) : n ∅ 14 mm
Bügelbewehrung : ∅ 10 mm
Gesucht : � Bemessung der Biegezugbewehrung AS

Lösung :
1. Schritt :
statische Nutzhöhe d = 55 cm – 3,5 cm – 1,0 cm – ½ * 1,4 cm
kd = 49,8 cm *
2. Schritt :
kS = 2,32
= 49,8 cm
0,
35m
145kNm
= 2,45
ς = 0,927 ==> (sprich Zeta)
3. Schritt :
AS = 2,32 *
145kNm
49,
8cm
gewählt : BSt 500 S (A)
5 ∅ 14 mm (AS = 7,70 cm 2 )
Berechnung des inneren Hebelarms z :
z = 0,927 * 49,8 cm
= 46,16 cm
= 6,76 cm 2
Seite 86

Aufgabe 1 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 30/60 cm
Verlegemaß Cv : 2,0 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 290 kNm
Biegezugbewehrung : n ∅ 16 mm
Bügelbewehrung : ∅ 10 mm
Gesucht : � Bemessung der Biegezugbewehrung AS
� Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
Aufgabe 2 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C30/37 : b/h = 40/80 cm
Verlegemaß Cv : 3,5 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 412 kNm
Biegezugbewehrung : 2 ∅ 20 mm + n ∅ 16 mm
Bügelbewehrung : ∅ 8 mm
Gesucht : � Bemessung der Biegezugbewehrung AS
� Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
Aufgabe 3 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 35/65 cm
Verlegemaß Cv : 4,0 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 410 kNm
Biegezugbewehrung : 2 ∅ 25 mm + n ∅ 14 mm
Bügelbewehrung : ∅ 8 mm
Gesucht : � Bemessung der Biegezugbewehrung AS
� Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
Aufgabe 4 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 30/55 cm
Verlegemaß Cv : 2,5 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 260 kNm
Biegezugbewehrung : n ∅ 20 mm
Bügelbewehrung : ∅ 8 mm
Gesucht : � Bemessung der Biegezugbewehrung AS
� Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
Seite 87

Aufgabe 5 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 30/60 cm
Verlegemaß Cv : 3,5 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 180 kNm
Biegezugbewehrung : n ∅ 16 mm
Bügelbewehrung : ∅ 6 mm
Gesucht : � Bemessung der Biegezugbewehrung AS
� Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
Aufgabe 6 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 40/60 cm
Verlegemaß Cv : 3,5 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 180 kNm
Biegezugbewehrung : 2 ∅ 20 mm + n ∅ 12 mm
Bügelbewehrung : ∅ 10 mm
Gesucht : � Bemessung der Biegezugbewehrung AS
� Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
Aufgabe 7 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 35/55 cm
Verlegemaß Cv : 3,5 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 145 kNm
Biegezugbewehrung : n ∅ ≤ 14 mm
Bügelbewehrung : ∅ 10 mm
Gesucht : � Bemessung der Biegezugbewehrung AS
� Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
Aufgabe 8 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 24/55 cm
Expositionsklasse : XC1
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 112 kNm
Biegezugbewehrung : n ∅ ≤ 16 mm
Bügelbewehrung : ∅ 6 mm
Gesucht : � Bemessung der Biegezugbewehrung AS
� Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
Seite 88

Aufgabe 9 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 30/50 cm
Expositionsklasse : XC2
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 146 kNm
Biegezugbewehrung : n ∅ ≤ 16 mm
Bügelbewehrung : ∅ 8 mm
Gesucht : � Bemessung der Biegezugbewehrung AS
� Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
Aufgabe 10 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 40/60 cm
Expositionsklasse : XC4
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 412 kNm
Biegezugbewehrung : n ∅ ≤ 20 mm
Bügelbewehrung : ∅ 8 mm
Gesucht : � Bemessung der Biegezugbewehrung AS
� Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
Aufgabe 11 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 17,5/24 cm
Expositionsklasse : XC1
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 25 kNm
Biegezugbewehrung : n ∅ ≤ 20 mm
Bügelbewehrung : ∅ 6 mm
Gesucht : � Bemessung der Biegezugbewehrung AS
� Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
Aufgabe 12 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 24/24 cm
Expositionsklasse : XC1
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 16 kNm
Biegezugbewehrung : n ∅ ≤ 20 mm
Bügelbewehrung : ∅ 6 mm
Gesucht : � Bemessung der Biegezugbewehrung AS
� Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
Seite 89

Aufgabe 13 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 24/48 cm
Expositionsklasse : XC2
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 56 kNm
Biegezugbewehrung : n ∅ ≤ 20 mm
Bügelbewehrung : ∅ 6 mm
Gesucht : � Bemessung der Biegezugbewehrung AS
� Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
Aufgabe 14 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 40/60 cm
Expositionsklasse : XC4
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 326 kNm
Biegezugbewehrung : n ∅ ≤ 20 mm
Bügelbewehrung : ∅ 6 mm
Gesucht : � Bemessung der Biegezugbewehrung AS
� Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
Aufgabe 15 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 35/75 cm
Expositionsklasse : XC3
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 285 kNm
Biegezugbewehrung : n ∅ ≤ 20 mm
Bügelbewehrung : ∅ 6 mm
Gesucht : � Bemessung der Biegezugbewehrung AS
� Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
Aufgabe 16 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 30/60 cm
Expositionsklasse : XC3
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Biegemoment My : 185 kNm
Biegezugbewehrung : n ∅ ≤ 20 mm
Bügelbewehrung : ∅ 6 mm
Gesucht : � Bemessung der Biegezugbewehrung AS
� Überprüfung Mindestabstand a der Biegezugbewehrung
Seite 90

7.7.7 Verankerung am Endauflager
Bauteile die auf Biegung beansprucht werden, verkürzen sich während der Durchbiegung. Dies
kann zur Folge haben, dass das Bauteil innen an den Auflagern nach unten fällt. Legen Sie dazu
einmal eine einfache Holzlatte links und rechts 1,0 cm auf ein Endauflager auf. Bei Belastung
biegt sich die Holzlatte durch und rutsch schon bei geringer Durchbiegung von den Auflagern ab
und fällt nach unten. Dies kann natürlich auch bei einem Stahlbetonbalken passieren.
Um dies zu vermeiden, müssen mindestens 25% der erforderlichen Biegzugbewehrung im Feld
bis zum Auflager durchlaufen und ausreichend verankert werden. Die Verankerungslänge
gemessen ab Innenkante Auflager hängt von der Art der Lagerung ab. Gemäß DIN 1045-1 wird
unterschieden zwischen :
���� direkter Lagerung
���� indirekter Lagerung
Wände oder Stützen gewährleisten stets eine direkte Lagerung. Bei Tiefgaragen zum Beispiel
kommt es häufig vor, dass ein Unterzug oder eine Deckenplatte durch einen anderen Unterzug
gestützt wird. Ob es sich dabei um eine direkte oder indirekte Lagerung handelt hängt von der
Abmessung des Haupt- und Nebenträgers ab.
Seite 91

Bedingung gemäß DIN 1045-1 :
Direkte Lagerung : h1 – h2 ≥ h2
Indirekte Lagerung : h1 – h2 < h2
Für die Bemessung der Zugbewehrung am Endauflager sind drei Faktoren maßgebend :
1. ���� maßgebende Querkraft am Endauflager
2. ���� Versatzmaß aL
3.���� Inneren Hebelarm z
Ein nochmalige Erläuterung zu 3. Innere Hebelarm ist hoffentlich nicht mehr nötig. Wenn ja,
dann Hände hoch. Was aber verbirgt sich unter 1. und 2. ?
Erläuterung zu 1. :
Was passiert, wenn die Verankerung am Endauflager nicht ausreichend ist ? Die Balkenenden
heben ab und die Bauteillänge verkürzt sich. Dies hat zur Folge, dass der Balken vertikal
zwischen den Auflagern nach unten fällt. Aufgrund der vertikalen Bügelanordnung wirkt die
maßgebende Querkraft am Endauflager ebenfalls vertikal. Betrachten Sie sich noch einmal die
Fachwerksituation am Endauflager ! Der Ort der maßgebenden Querkraft liegt nicht am
Endauflager, sondern ein gewisses Maß von der Innenkante des Auflagers entfernt. Dies liegt
daran, dass zum Schluss die gesamte Einwirkung im Feld über eine Druckstrebe in das Auflager
eingeleitet wird.
Das Maß e von der Innenkante des Auflagers bis zur Stelle der maßgebenden Querkraft ist
wiederum von der Art der Lagerung abhängig.
Seite 92

���� Direkter Lagerung
Bei einer direkten Lagerung darf zur Verankerung der Bewehrung am Endauflager als auch zur
Bemessung der Bügelbewehrung selber eine reduzierte Auflagerkraft im Abstand der statischen
Nutzhöhe d von der Innenkante des Auflagers angenommen werden.
���� Indirekter Lagerung
Bei einer indirekten Lagerung darf zur Verankerung der Bewehrung am Endauflager als auch zur
Bemessung der Bügelbewehrung selber darf eine reduzierte Auflagerkraft in der Flucht von der
Innenkante des Auflagers angenommen werden. Die maßgebende Querkraft wird Ihnen aber
vom Statiker angegeben und ist auch nicht Teil der Abschlussprüfung.
Seite 93

Erläuterung zu 2. :
Die Reduzierung der Zugkraft in der Bewehrung von der Stelle der maximalen Durchbiegung bis
zum Endauflager basiert in der Praxis auf zwei möglichen Theorien :
1. Theorie ���� Biegetheorie
2. Theorie ���� Fachwerktheorie
Wo liegt der Unterschied ? Betrachten Sie sich dazu jeweils die dazugehörigen Modelle !
Bei der Biegetheorie ist der Betrag der Zugkraft in der Bewehrung an jeder Stelle anders. Bei der
Fachwerktheorie vollzieht sich die Reduzierung der Zugkraft in der Bewehrung (Untergurt) nur
sprunghaft von Knoten zu Knoten.
Das Versatzmaß aL muss sowohl bei der Bemessung der erforderlichen Bewehrung zur
Verankerung am Endauflager als auch später bei der Darstellung einer Zugkraftdeckungslinie
berücksichtigt werden.
Seite 94

7.7.7.1 Bemessung Verankerung am Endauflager
Die Bemessung der Verankerung am Endauflager vollzieht sich in drei Schritten :
1. Schritt � vorhandenen Zugkraft FS am Endauflager
2. Schritt � erforderliche Zugbewehrung AS
3. Schritt � Maß der Verankerungslänge lb,dir, bzw. lb,indir
Formel zur Berechnung der vorhandenen Zugkraft FS am Endauflager :
vorhandene Zugkraft FS = Ved *
Seite 95
aL ≥
z
Ved = maßgebende Querkraft gemäß statischer Berechnung
aL = Versatzmaß 0,45 * d (statische Nutzhöhe)
z = Innere Hebelarm gemäß Bemessung der Biegezugbewehrung
V ed
2

Formel zur Berechnung der erforderlichen Zugbewehrung AS am Endauflager :
erforderliche Zugbewehrung AS
FS = vorhandene Zugkraft am Endauflager
σS = zulässige Stahlspannung 43,5 kN/cm 2
AS,Feld = erforderliche Biegezugbewehrung im Feld
Formel zur Berechnung der erforderlichen Verankerungslänge lb,net :
Beispiel :
=
FS
lb,net = αa * lb *
lb,net = Verankerungslänge
σ
S
Seite 96
A
A
S , erf
S , vorh
≥ 0,25 * erforderlich AS,Feld
≥ lb,min
αa = Beiwert zur Berechnung der Verankerungslänge (TB Seite- 267)
lb = Grundmaß der Verankerungslänge (TB Seite 266)
AS,erf = erforderliche zu verankernde Zugbewehrung
AS,vorh = vorhandene zu verankernde Zugbewehrung
lbmin = Mindestmaß 0,3 * αa * lb ≥ 10 * ds
Gegeben : Stahlbetonbalken : C20/25
Betonstahl : BSt 500 S (A)
erforderlich AS : 6,43 cm 2
vorhanden AS : 5 ∅ 14 mm (7,70 cm 2 )
Verankerung gerades Stabende αa : 1,0
Verbundbedingung : gut
Gesucht : erforderliche Verankerungslänge lb,net
Lösung :
erforderliche Verankerungslänge lb,net =
2
6,
43cm
1,0 * 66 cm * 2
7,
70cm
= 55,1 cm
≥ 0,3 * 1,0 * 66 = 19,8 cm
≥ 10 * 1,4 cm = 14,4 cm

Die erforderlichen Verankerungslängen lassen sich aus der Verankerungslänge lb,net berechnen !
Beispiel 1 :
lb,dir ≥ 2/3 * lb,net lb,indir ≥ lb,net
≥ 6 ds ≥ 10 ds
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 30/50 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
cnom : 3,5 cm
Zugkraft FS am Endauflager : 135 kN
erforderlich AS,Feld : 11,49 cm 2 (6 ∅ 16 mm)
Bügelbewehrung : ∅ 6 mm, S = 25 cm
Verankerung : gerades Stabende
direkte Lagerung : 30 cm
Verbundbedingung : gut
Gesucht : Nachweis Verankerung am Endauflager
Lösung :
erforderliche Zugbewehrung AS =
135kN
2
43,
5kN
/ cm
= 3,10 cm 2 > 0,25 * 11,49 cm 2
2,87 cm 2
gewählt : � 3 ∅ 16 mm
lb,net =
2
3,
10cm
1,0 * 75 cm * 2
6,
03cm
= 38,6 cm
> 0,3 * 1,0 * 75 cm = 22,5 cm
> 10 * 1,6 = 16 cm
� lb,dir = 2/3 * 38,6 cm = 25,7 cm
Seite 97
> 6 * 1,6 cm = 9,6 cm
< 30 cm – 3,5 cm = 26,5 cm

Beispiel 2 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 30/55 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
cnom : 2,0 cm
maßgebende Querkraft Ved : 78 kN
innerer Hebelarm : 0,85 * d
erforderlich AS,Feld : 6,76 cm 2 (6 ∅ 12 mm)
Bügelbewehrung : ∅ 6 mm, S = 20 cm
Verankerung : gerades Stabende
direkte Lagerung : 25 cm
Verbundbedingung : gut
Gesucht : Nachweis Verankerung am Endauflager
Lösung :
statische Nutzhöhe d = 55 cm – 2,0 cm – 0,6 cm – ½ * 1,2 cm = 51,8 cm
Innerer Hebelarm z = 0,85 * 51,8 cm = 44,03 cm
Versatzmaß aL = 0,45 * 51,8 cm = 23,3 cm
erforderliche Zugkraft FS = 78 kN *
Seite 98
23,
3cm
44,
03cm
= 41,28 kN
kN = 0,95 cm 2 < 0,25 * 6,76 cm 2
erforderliche Zugbewehrung AS =
41,
28
2
43,
5kN
/ cm
1,69 cm 2
gewählt : � 2 ∅ 12 mm
lb,net =
2
0,
95cm
1,0 * 56 cm * 2
2,
26cm
= 23,5 cm
> 0,3 * 1,0 * 56 cm = 16,8 cm
> 10 * 1,2 = 12 cm
� lb,dir = 2/3 * 23,5 cm = 15,7 cm
> 6 * 1,2 cm = 7,2 cm
< 25 cm – 2,0 cm = 23,0 cm

Aufgabe 1 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 24/45 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
cnom : 2,5 cm
maßgebende Querkraft Ved : 82 kN
innerer Hebelarm : 0,85 * d
erforderlich AS,Feld : 7,04 cm 2 (5 ∅ 14 mm)
Bügelbewehrung : ∅ 6 mm, S = 20 cm
Verankerung : gerades Stabende
direkte Lagerung : 24 cm
Verbundbedingung : gut
Gesucht : Nachweis Verankerung am Endauflager
Aufgabe 2 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 35/40 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
cnom : 3,5 cm
maßgebende Querkraft Ved : 86 kN
innerer Hebelarm : 0,85 * d
erforderlich AS,Feld : 9,65 cm 2 (5 ∅ 16 mm)
Bügelbewehrung : ∅ 8 mm, S = 25 cm
Verankerung : gerades Stabende
direkte Lagerung : 30 cm
Verbundbedingung : gut
Gesucht : Nachweis Verankerung am Endauflager
Aufgabe 3 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C25/30 : b/h = 30/60 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Expositionsklasse : XC4
maßgebende Querkraft Ved : 86 kN
innerer Hebelarm : 0,85 * d
erforderlich AS,Feld : 9,95 cm 2 (n ∅ 16 mm)
Bügelbewehrung : ∅ 8 mm, S = 25 cm
Verankerung : gerades Stabende
direkte Lagerung : 30 cm
Verbundbedingung : gut
Gesucht : Nachweis Verankerung am Endauflager
Seite 99

Aufgabe 4 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 24/44 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Expositionsklasse : XC1
maßgebende Querkraft Ved : 32 kN
innerer Hebelarm : 0,85 * d
erforderlich AS,Feld : 2,70 cm 2 (n ∅ 10 mm)
Bügelbewehrung : ∅ 6 mm, S = 25 cm
Verankerung : gerades Stabende
direkte Lagerung : 25 cm
Verbundbedingung : gut
Gesucht : Nachweis Verankerung am Endauflager
Aufgabe 5 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 40/40 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Expositionsklasse : XC3
maßgebende Querkraft Ved : 125 kN
innerer Hebelarm : 0,85 * d
erforderlich AS,Feld : 11,59 cm 2
(2 ∅ 20 mm + n ∅ 14 mm)
Bügelbewehrung : ∅ 8 mm, S = 16 cm
direkte Lagerung : 30 cm
Verbundbedingung : gut
Gesucht : Nachweis Verankerung am Endauflager
Aufgabe 6 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 30/60 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Expositionsklasse : XC1
maßgebende Querkraft Ved : 156 kN
innerer Hebelarm : 0,85 * d
erforderlich AS,Feld : 11,59 cm 2
(2 ∅ 20 mm + n ∅ 12 mm)
Bügelbewehrung : ∅ 8 mm, S = 16 cm
direkte Lagerung : 35 cm
Verbundbedingung : gut
Gesucht : Nachweis Verankerung am Endauflager
Seite 100

Aufgabe 7 :
Gegeben : Stahlbetonunterzug C25/30 : b/h = 40/55 cm
Breite Druckzone b : 85 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Expositionsklasse : XC2
maßgebendes Biegemoment My : 202,5 kNm
maßgebende Querkraft Ved : 113 kN
innerer Hebelarm : gemäß kd-Verfahren
erforderlich AS,Feld : n ∅ 16 mm
Bügelbewehrung : ∅ 6 mm, S = 16 cm
direkte Lagerung : 30 cm
Verbundbedingung : gut
Gesucht : 7.1 Bemessung der Biegezugbewehrung AS,Feld
7.2 Nachweis Verankerung am Endauflager
Aufgabe 8 :
Gegeben : Stahlbetonunterzug C20/25 : b/h = 30/55 cm
Breite Druckzone b : 65 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Expositionsklasse : XC1
maßgebendes Biegemoment My : 187,5 kNm
maßgebende Querkraft Ved : 120 kN
innerer Hebelarm : gemäß kd-Verfahren
erforderlich AS,Feld : n ∅ 14 mm
Bügelbewehrung : ∅ 6 mm, S = 20 cm
direkte Lagerung : 30 cm
Verbundbedingung : gut
Gesucht : 8.1 Bemessung der Biegezugbewehrung AS,Feld
8.2 Nachweis Verankerung am Endauflager
Aufgabe 9 :
Gegeben : Stahlbetonunterzug C20/25 : b/h = 17,5/24 cm
Breite Druckzone b : 58 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Expositionsklasse : XC1
maßgebendes Biegemoment My : 23 kNm
maßgebende Querkraft Ved : 25 kN
innerer Hebelarm : gemäß kd-Verfahren
erforderlich AS,Feld : n ∅ 12 mm
Bügelbewehrung : ∅ 6 mm, S = 20 cm
direkte Lagerung : 25 cm
Verbundbedingung : gut
Gesucht : 9.1 Bemessung der Biegezugbewehrung AS,Feld
9.2 Nachweis Verankerung am Endauflager
Seite 101

Aufgabe 10 :
Statisches System
Gegeben : Stahlbetonunterzug C20/25 : b/h = 30/50 cm
Betonstahl : BSt 500 S (A)
Expositionsklasse : XC3
maßgebendes Biegemoment My,Feld : 114 kNm
maßgebendes Biegemoment My,Stütz : -204 kNm
maßgebende Querkraft Ved,Endauflager : 93 kN
Breite Druckzone für AS,Feld : 70 cm
Breite Druckzone für AS,Stütz : 30 cm
innerer Hebelarm : gemäß kd-Verfahren
erforderlich AS,Feld : n ∅ ≤ 12 mm
erforderlich AS,Stütz : n ∅ ≤ 16 mm
Bügelbewehrung : ∅ 10 mm, S = 15 cm
direkte Lagerung : 25 cm
Gesucht : 10.1 Bemessung der Biegezugbewehrung AS,Feld
10.2 Bemessung der Biegezugbewehrung AS,Stütz
10.3 Nachweis Verankerung am Endauflager
10.4 Darstellung Biegeplan in Ansicht und Schnitt im Maßstab 1:25
inklusive Stahlliste gemäß DIN 1356
Seite 102

7.7.8 Zugkraftdeckungslinie gemäß DIN 1045-1
Die Bemessung eines Bauteils erfolgt stets nach den betragsmäßig maximalen oder minimalen
Schnittgrößen. Dies gilt sowohl für die Querkraft Vz als auch für das Biegemoment My. Sowohl
nach der Biegetheorie als auch nach der Fachwerktheorie nimmt das Biegmoment My
kontinuierlich vom Ort der maximalen Durchbiegung bis zu den Endauflagern ab.
Konsequenterweise nimmt auch die erforderliche Zugbewehrung AS zu den Endauflagern
kontinuierlich ab. Obwohl an einem Endauflager die Durchbiegung gleich Null muss gemäß DIN
1045-1 mindestens 25% der erforderlichen Feldbewehrung über das Auflager geführt und
ausreichend verankert werden (Siehe Kapitel 7.7.7. !). Da aber nur ein Teil der maximal
erforderlichen Bewehrung im Feld bis zum Auflager geführt werden muss, kann der Rest der
Bewehrung von der Länge her verkürzt werden. In der Praxis spricht man von einer Staffelung
der Bewehrung. Welche Länge die restliche gestaffelte Bewehrung erhalten muss, kann mithilfe
einer Zugkraftdeckungslinie ermittelt werden. Die heutige Statiksoftware leistet die Darstellung
einer Zugkraftdeckungslinie automatisch und wird automatisch über eine Schnittstelle zum
CAD-System übertragen und in einen Biegeplan gemäß DIN 1356 umgewandelt. Nicht die
Software kann dieses leisten, sondern auch Sie. Ist das nicht schön ? Versuchen wir uns dieser
Thematik mithilfe eines konkreten Beispiels zu näheren.
Beispiel :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 (XC1) : b/h = 24/24 cm
Verlegemaß Cv : 2,0 cm
maßgebendes Biegemoment My : 32,25 kNm
statische Nutzhöhe d : 20,8 cm
innere Hebelarm z : 17,1 cm
erforderlich AS,Feld gemäß kd-Verfahren : 4,35 cm 2 4 ∅ 12 mm
Bügelbewehrung : ∅ 6 mm, S = 20 cm
Endauflager Mauerwerk direkte Lagerung : 24 cm
7.7.8.1 Biegemomentenfunktion My(x)
Um an jeder Stelle im System das Biegemoment My zu bestimmen, kann der Statiker (oder auch
Sie ?) den Verlauf des Biegemomentes mithilfe einer mathematischen Funktion My(x)
ausdrücken. Dazu wird das System an einer beliebigen Stelle im System aufgeschnitten und
anstatt eine klar definierte Länge anzugeben wird eine Variable x verwendet. Die unbekannten
inneren Schnittgrößen müssen wiederum mit der äußerlichen Einwirkung und den
Auflagerkräften im Gleichgewicht stehen.
Seite 103

Das System wird willkürlich auf der Bauteillänge geschnitten und die unbekannten inneren
Schnittgrößen gemäß der Vorzeichenregelung angetragen. Für die Systemlänge wird die
Variable x eingesetzt.
Ermittlung der linearen Querkraftfunktion 1. Ordnung :
Σ Vertikalen Kräfte VZ = 0 (Alle Kräfte die nach unten gerichtet sind,
werden als positiv definiert)
Vz(x) + 10 kN/m * x – 25 kN = 0
+
Vz(x) = - 10 kN/m * x + 25 kN
Ermittlung der parabelförmigen Biegemomentenfunktion 2. Ordnung :
Σ Drehmomente M(S) = 0 (Alle linksdrehenden Momente
werden als positiv definiert)
My(x) + 10 kN/m * x * x/2 – 25 kN * x = 0
My(x) = - 10 kN/m * x * x/2 + 25 kN * x
Der Einfachheit stellt man die Einheiten bei der Ermittlung der Funktion nicht mit dar. Somit
ergeben sich folgende Funktionen :
Vz(x) = - 10*x + 25
My(x) = - 5x 2 + 25x
Mithilfe dieser Funktionen kann der Statiker an jeder Stelle im System sowohl die Querkraft als
auch das Biegemoment berechnen. Für die Darstellung der Zugkraftdeckungslinie benötigen Sie
aber nur die Biegemomentenfunktion My(x).
Seite 104

7.7.8.2 Ermittlung der Zugkräfte im System
Für die Darstellung der Zugkraftdeckungslinie werden wie der Name es schon hergibt Zugkräfte
benötigt. Das System ist einfach. Man ermittelt an beliebigen Stellen im System die vorhandene
Zugkraft Fs in der Bewehrung und vergleicht diese mit der aufnehmbaren Zugkraft der zuvor
berechneten und eingebauten Bewehrung im Balken. Aber ein Schritt nach dem anderen. Als
erstes berechnen Sie die vorhandenen Zugkräfte an verschiedenen Stellen im System. Dafür
schneiden Sie das System alle 1,0m als auch genau in der Mitte in Richtung der Bauteilachse
auf. Somit ergeben sich fünf Orte an denen die vorhandenen Zugkräfte berechnet werden. Die
vorhandene Zugkraft FS lässt sich wiederum mithilfe des Biegemomentes und des inneren
Hebelarms bestimmen.
Eine Tabelle schafft die erforderliche Übersicht !
FS
=
Stelle x (m) 1,00 2,00 2,50 3,00 4,00
Biegemoment My (kNm) 20 30 32,25 30 20
innerer Hebelarm z 0,171 0,171 0,171 0,171 0,171
vorhandene Zugkraft FS (kN) 117 176 189 176 117
Die Zugkraftdeckungslinie ist eine zeichnerische Methode. Um die vorhandene Zugkräfte an den
verschiedenen Orten darstellen zu können, müssen Sie einen geeigneten Kräftemaßstab
definieren. Der Kräftemaßstab hängt dabei von der Größe der Zeichnung ab. Auf ein DIN A4
Querformat bietet sich folgender Kräftemaßstab an :
Seite 105
M y
100 kN = 1,0 cm
Die Bauteillänge kann im Maßstab 1 : 50 dargestellt werden !
Somit lässt sich das System als auch die vorhandenen M/z-Linie wie folgt darstellen :
z

7.7.8.3 Darstellung der Auflagersituation
Für die kompletten Längen der Betonstähle muss in der Zugkraftdeckungslinie die tatsächlichen
Bauteillänge eingezeichnet werden. Zur Bemessung von tragenden Bauteilen werden statische
Systeme verwendet, welche die tatsächliche Bauteilgeometrie annähernd darstellt. Die statische
Systemlänge leff des Bauteils ergibt sich aus dem lichten Öffnungsmaß plus ein gewisses Maß
der Einbindetiefe am End- bzw. Zwischenauflager.
Beispiele :
Auflager Mauerwerk (kein monolithischer Verbund)
leff = 1/3 * 0,24 m + 4,51 m + 1/3 * 0,24 m
= 4,67 m
Auflager Stahlbeton (monolithischer Verbund d.h. Einspannung am Endauflager)
leff = 1/2 * 0,24 m + 4,51 m + 1/2 * 0,24 m
= 4,75 m
Seite 106

Auflager Mauerwerk + Einspannung durch Mauerwerkswand ( kein monolithischer Verbund)
leff,1 = 1/3 * 0,24 m + 4,51 m + 1/2 * 0,24 m
= 4,71 m
leff,2 = 1/2 * 0,24 m + 4,51 m + 1/2 * 0,24 m
= 4,75 m
In Ihrem Beispiel liegt der Balken auf beiden Seiten auf Mauerwerk auf, das heißt es liegt kein
monolithischer Verbund zwischen dem Balken und dem Auflager vor. Die Innenkante des
Auflagers verschiebt sich dementsprechend um 8,0 cm nach innen.
7.7.8.4 Darstellung der zulässigen Zugkraft der Biegezugbewehrung
Gemäß statischer Berechnung werden zur Aufnahme der maximalen Zugkraft FS 4 ∅ 12 mm
benötigt. Der Nachweis der Verankerung am Endauflager gemäß DIN 1045-1 erfordert, dass
mindestens 2 ∅ 12 mm bis zum Auflager durchlaufen und ausreichend verankert werden
müssen. Somit können die restlichen 2 ∅ 12 mm im Bereich der maximalen Beanspruchung
gestaffelt werden. Die aufnehmbare Zugkraft für jeweils 2 ∅ 12 mm lässt sich wiederum durch
umstellen der bekannten Spannungsformel folgendermaßen berechnen :
zulässige Zugkraft FS,Bewehrung = σS * AS
Seite 107

Berechnung der zulässigen Zugkraft FS von 2 ∅ 12 mm (2,26 cm 2 ) :
zulässig FS,2∅12mm = 43,5 kN/cm 2 * 2,26 cm 2
= 98,31 kN
Vervollständigung der Zugkraftdeckungslinie :
7.7.8.5 Darstellung der Zugkraftlinie
Um der Aufnahme der Biegezugbewehrung gemäß der Fachwerktheorie gerecht zu werden,
muss die M/z-Linie an jeder Stelle horizontal um das Versatzmaß aL erweitert werden ! Das
Versatzmaß für die Beispielaufgabe beträgt :
aL = 0,45 * 20,8 cm (statische Nutzhöhe d)
= 9,4 cm
Das Versatzmaß brauch nur an ein paar Stellen an die vorhandene M/z-Linie angetragen werden,
um die daraus resultierende Zugkraftlinie darzustellen.
Seite 108

Vervollständigung der Zugkraftdeckungslinie :
7.7.8.6 Darstellung der Zugkraftdeckungslinie
Ausgehend von der zulässigen Zugkraft der Bewehrung muss die Zugkraftdeckungslinie die
vorhandene Zugkraftlinie vollständig abdecken. Das heißt die unterste Linie muss tiefer liegen
als der tiefste Punkt der Zugkraftlinie. Die Zugkraftdeckungslinie wird treppenartig an der
Zugkraftlinie angetragen.
Seite 109

7.7.8.7 Darstellung der Bewehrung
Gemäß der Darstellung wird die gestaffelte Bewehrung rechnerisch am Endpunkt E nicht mehr
benötigt. Nach DIN 1045-1 muss diese aber über den Endpunkt E mit lb,net verankert werden.
Die Verankerungslänge lb,net ist abhängig von der zuvor eingebauten Bewehrung. Das heißt,
wenn die Biegeposition 2 wie dargestellt gestaffelt werden soll, dann müssen zuvor im
Verankerungsschnitt 2 ∅ 12 mm (Biegeposition 1) eingebaut werden. Im Verankerungsschnitt
(nachdem Endpunkt E) befinden sich somit nicht nur 2 ∅ 12 mm durch die Biegeposition 2
sondern in der Summe 4 ∅ 12 mm inklusive der Biegeposition 1. Somit ergibt sich eine
Verankerungslänge lb,net für die Biegeposition 2 :
lb,net =
2
2,
26cm
1,0 * 56 cm* 2
4,
52cm
= 28,0 cm
≥ 0,3 * 1,0 * 56 cm = 16,8 cm
≥ 10 * 1,2 cm = 12,0 cm
Durch die Maßstabsgetreue Darstellung der Zugkraftdeckungslinie, kann die Länge zwischen
den Endpunkten E abgegriffen werden bzw. bei der Darstellung mit CAD abgemessen werden.
Die Länge der Biegeposition 1 + 2 ergeben sich somit zu :
LBiegeposition 1 = 5,00 m + 2 * 0,16 m – 2 * 0,02 m = 4,16 m
LBiegeposition 2 = 0,28 m + 3,60 m + 0,28 m = 4,16 m
Seite 110

Schrittweise Zusammenfassung zur Darstellung einer Zugkraftdeckungslinie :
1. Schritt : � Aufteilung des Bauteillänge in einzelne Abschnitt (e ≤ 1,00 m)
2. Schritt : � Berechnung der vorhandenen Zugkräfte FS mithilfe der Momentenfunktion
und des inneren Hebelarms z inklusive Darstellung der M7z-
Linie
3. Schritt : � Darstellung der Auflagersituation
4. Schritt : � Berechnung der zulässigen Zugkraft FS der Bewehrung inklusive
Darstellung
5. Schritt : � Darstellung der Zugkraftlinie mithilfe des Versatzmaßes aL
6. Schritt : � Darstellung der Zugkraftdeckungslinie
7. Schritt : � Berechnung der erforderlichen Verankerungslängen lb,net der gestaffelten
Bewehrung
8. Schritt : � Berechnung bzw. abmessen der Längen der gestaffelten Biegepositionen
Aufgabe 1 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 24/50cm
Gesucht : 1.1 Verankerungslänge lb,net Biegeposition 2
Verankerungslänge lb,net Biegeposition 3
Seite 111

Aufgabe 2 :
Gegeben : Stahlbetonunterzug C20/25 : b/h = 30/60cm
Gesucht : 2.1 Verankerungslänge lb,net Biegeposition 2
Verankerungslänge lb,net Biegeposition 3
Verankerungslänge lb,net Biegeposition 5
Verankerungslänge lb,net Biegeposition 6
Verankerungslänge lb,net Biegeposition 7
Seite 112

Aufgabe 3 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 35/50 cm
Statisches System :
Expositionsklasse : XC1
maßgebendes Biegemoment My : 186 kNm
maßgebende Querkraft Ved : 102 kN
Biegezugbewehrung AS : ≤ ∅ 16 mm
Bügelbewehrung : ∅ 10, S = 20 cm
Auflager direkte Lagerung Mauerwerk : 30 cm
Gesucht : 3.1 Bemessung der Biegezugbewehrung AS,Feld
3.2 Nachweis Verankerung am Endauflager
3.3 Darstellung der Zugkraftdeckungslinie
Seite 113

Aufgabe 4 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 40/70 cm
Statisches System :
Expositionsklasse : XC3
maßgebendes Biegemoment My : 396 kNm
maßgebende Querkraft Ved : 165 kN
Biegezugbewehrung AS : ≤ ∅ 16 mm
Bügelbewehrung : ∅ 12, S = 16 cm
Auflager direkte Lagerung Mauerwerk : 30 cm
Gesucht : 4.1 Bemessung der Biegezugbewehrung AS,Feld
4.2 Nachweis Verankerung am Endauflager
4.3 Darstellung der Zugkraftdeckungslinie
Seite 114

Aufgabe 5 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 35/60 cm
Statisches System :
Expositionsklasse : XC3
Momentenfunktion Feld 1 und 2 : My(x) = -28x 2 + 126x
maßgebende Querkraft Ved : 95 kN
Biegezugbewehrung AS : ≤ ∅ 16 mm
Bügelbewehrung : ∅ 6, S = 20 cm
Auflager direkte Lagerung Mauerwerk : 30 cm
Gesucht : 5.1 Bestimmung der Nullstellen
5.2 Berechnung der maßgebenden Biegemomente My(Feld) und My(Stütz)
5.3 Bemessung der Biegezugbewehrung AS,Feld
5.4 Nachweis Verankerung am Endauflager
5.5 Darstellung der Zugkraftdeckungslinie
5.6 Biegeplan in Ansicht und Schnitt nach DIN 1356
5.7 Rundstahlliste
Seite 115

Aufgabe 6 :
Gegeben : Stahlbetonbalken C20/25 : b/h = 40/60 cm
Statisches System :
Expositionsklasse : XC3
Momentenfunktion Feld 1 : My(x) = -39,3x 2 + 199,9x
Momentenfunktion Feld 2 : My(x) = -39,3x 2 + 150,5x
maßgebende Querkraft VA.ed : 150 kN
maßgebende Querkraft VC.ed : 104 kN
Biegezugbewehrung AS : ≤ ∅ 16 mm
Bügelbewehrung : ∅ 8, S = 20 cm
Auflager direkte Lagerung Mauerwerk : 30 cm
Gesucht : 6.1 Bestimmung der Nullstellen Feld 1 und Feld 2
6.2 Berechnung der maßgebenden Biegemomente My(Feld) und My(Stütz)
6.3 Bemessung der Biegezugbewehrung AS,Feld
6.4 Nachweis Verankerung am Endauflager
6.5 Darstellung der Zugkraftdeckungslinie
6.6 Biegeplan in Ansicht und Schnitt nach DIN 1356
6.7 Rundstahlliste
Seite 116