Die Atomvorstellung von den Griechen bis zum ... - Julius Plenz

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4.2 Die Bohrschen Postulate 8 4.2 Die Bohrschen Postulate BOHR legte zwei Postulate fest, auf deren Grundlage er dann sein Modell stellte: 3 1. Postulat (Stabilitätsbedingung): Das Elektron kann nur auf bestimmten, Quantenbedingungen erfüllenden Bahnen um den Atomkern laufen. In diesen Zuständen emittiert bzw. absorbiert das Atom keine Energie. Jede Quantenbahn entspricht einer Energiestufe des Atoms. Diese Energiestufen bilden eine diskrete Folge E1, E2, E3, . . .. 2. Postulat (Frequenzbedingung): Beim Übergang von einem stationären Energiezustand En in einen stationären Energiezustand Ek emittiert bzw. absorbiert das Atom die Energie |En −Ek|. Bei der Emission von Energie vollzieht das Elektron einen Bahnwechsel aus einer Energiestufe En in eine Stufe Ek von niedrigerer Energie. Die Energie En − Ek wird in Form eines Lichtquants hfnk abgegeben. Bei Absorption von Energie vollzieht das Elektron einen Bahnwechsel aus einer Enerfiestufe Ek in eine Stufe En von höherer Energie. Das Atom kann nur Strahlung solcher Frequenzen emittieren oder absorbieren, die den Energiedifferenzen zweier stationärer Zustände des Atoms entsprechen. 4.3 Berechnungen Abb. 7: Schematische Zeichnung des Bohrschen Atommodells BOHR legte seinem Modell diese (durch Experimente gestützten) Postulate zu Grunde, um dann Berechnungen zum Radius des Atoms und zur Geschwindigkeit der Elektronen anzustellen. BOHR geht in diesen Berechnungen 4 von kreisförmigen Bahnen, auf denen sich die Elektronen strahlungsfrei – was im Gegensatz zu den Erkenntnissen MAXWELLS steht – bewegen, aus. Sein Ansatz steht im „krassen Gegensatz zur klassischen Physik“ [5]; BOHR kombiniert aber trotz dessen Ansätze bzw. Gesetze der klassischen mit denen der Quantenphysik. 4.3.1 Die Bohrsche Quantenbedingung Die Bohrsche Quantenbedingung ist die mathematische Formulierung seines ersten Postulats. Legt man die DE BROGLIE-Wellenvorstellung der Elektronen zu Grunde (die zwar erst 1924 entwickelt wurde – BOHR also unbekannt war – aber sehr zum Verständnis beiträgt), dann ist die Länge der Elektronenwelle gleich dem Quotient aus Planckschem Wirkungsquantum und Drehimpuls: 3 Zitiert nach [4, S. 129] 4 Nach [5, Anhang] λ = h p = h mv
4.3 Berechnungen 9 Der Umfang der Bahnen muss nun ganzzahliges Vielfaches (auch Quantenzahl genannt) dieser Wellenlänge sein, denn sonst würde sich die Welle durch Interferenz selbst vernichten. Durch diesen Gedanken kommt man auf die mathematische Formulierung des 1. Bohrschen Postulats: 2πr = nλ = nh mv 4.3.2 Der Durchmesser des Wasserstoffatoms Ausgehend davon, dass die elektrostatische Anziehungskraft Fe zwischen Kern und Elektron gleich der Zentripetalkraft Fz sein muss (damit das Elektron auf seiner Kreisbahn verbleibt), stellte BOHR die Gleichung bzw. auf. Fe = Fz e2 4πε0r2 = mv2 r mv 2 = e2 4πε0r Nun teilte er (3) durch die nach nh aufgelöste Gleichung (2): mv 2 2πrmv = e 2 4πε0r 2πrmv Umgestellt, gekürzt und nach vn (Geschwindigkeit der Elektronen auf Bahn n) aufgelöst ergibt sich: vn = e2 1 2ε0h n (4) Setzt man nun (2) – wieder nach nh aufgelöst – in obige Gleichung (4) ein und löst nach rn, also dem Radius der Bahn n auf, dann ergibt sich: rn = ε0h 2 πe 2 m n2 Wenn man nun die Gleichungen (4) und (5) betrachtet, so sieht man, dass sich die Verhältnisse der Geschwindigkeiten vn und der Radien rn sich wie die Kehrwerte bzw. die Quadrate der natürlichen Zahlen verhalten. Wird nun vn für n = 1 berechnet, so ergibt sich v1 = e2 1 m ≈ c ≈ 2,2 · 106 2ε0h · 1 137 s . (2) (3) (5)
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