Lagrange-Formalismus für Elektrodynamik und Gravitation

Den letzten Term haben wir umgeformt unter der Verwendung von (4.38) und (5.18). Wir benötigen nun wir Variation
der Christoffelsymbole (5.19). Nach einer längeren Rechnung erhalten wir
δΓ λ µν = 1
2 gλκ
Dµδgνκ + Dνδgµκ − Dκδgµν . (5.21)
Die Ableitungen sind hier kovariante Ableitungen. Folglich transformiert sich δΓ λ µν wie eine Tensor dritter Stufe. Für
den letzten Term in (5.20) benötigen wir den Ausdruck
N
p λ
i S
i,j=1
ν
ij,µ qj δΓ µ
νλ =
= 1
2
= 1
2
N
p λ
i S
i,j=1
N
p λ
i,j=1
N µ
p
i,j=1
= − 1
2
N
i,j=1
ν
ij,µ qj
i S µν
ij, qj
1
2 gµκ
Dνδgλκ + Dλδgνκ − Dκδgνλ
Dνδgλµ + Dλδgνµ − Dµδgνλ
νλ
i Sij, qj + p λ
i S νµ
ij, qj − p ν
i S λµ
ij, qj Dλδgµν
λ µν
pi,µSij,νλqj + pi,λSij,νµqj − pi,νSij,λµqj D δg ,
wobei das letzte Gleichheitszeichen gilt wegen δgλµg µν = −gλµδg µν . Weil δg µν = δg νµ symmetrisch ist in den Indizes,
finden wir
N
p λ
i S
i,j=1
ν
ij,µ qj δΓ µ
νλ
= −1
4
N
i,j=1
12
(5.22)
λ µν
pi,µ(Sij,νλ−Sij,λν)qj+pi,ν(Sij,µλ−Sij,λµ)qj+pi,λ(Sij,µν +Sij,νµ)qj D δg . (5.23)
Wir setzen dieses Ergebnis nun in die Wirkung (5.20) ein, formen mit dem Integralsatz von Gauß um, und erhalten
δSM = 1
d
c V4
4 x √
−g − 1
2 gµνδg µν ∂ LM
LM +
∂g µν δgµν − 1
2 Aλµν D λ δg µν
= 1
d
2c V4
4 x √
∂ LM
−g 2
∂g µν − gµνLM + D λ
Aλµν δg µν − 1
d
2c V4
4 x √ −g D λ Aλµν δg µν
= 1
d
2c V4
4 x √
∂ LM
−g 2
∂g µν − gµνLM + D λ
Aλµν δg µν − 1
d
2c V4
4 x ∂ λ√ −g Aλµν δg µν
= 1
d
2c
4 x √
∂ LM
−g 2
∂g µν − gµνLM + D λ
Aλµν δg µν − 1
dσ
2c
λ Aλµν δg µν
(5.24)
mit
V4
Aλµν = 1
2
N
i,j=1
Der letzte Term ist wiederum null wegen δg µν (x) = 0 für
x ∈ ∂V4. Definieren wir den Energie-Impuls-Tensor
so folgt
pi,µ(Sij,νλ − Sij,λν)qj + pi,ν(Sij,µλ − Sij,λµ)qj + pi,λ(Sij,µν + Sij,νµ)qj . (5.25)
∂ LM
Tµν = 2
∂g µν − gµνLM + D λ Aλµν , (5.26)
δSM = 1
d
2c V4
4 x √ −g Tµν δg µν . (5.27)
Wir addieren nun die beiden Terme (5.16) und (5.27)
zusammen und erhalten die Variation der gesamten
Wirkung
∂V4
δS = − c3
d
16πG V4
4 x √ −g
× Rµν − 1
2 gµνR − 8πG
c
4 Tµν
δg µν .
(5.28)
Die Variation der inversen Metrik δg µν (x) ist beliebig für
x ∈ V4 \ ∂V4. Daher folgen aus der notwendigen Bedingung
δS = 0 des Hamiltonschen Prinzips der kleinsten