Lagrange-Formalismus für Elektrodynamik und Gravitation

F. Erzeugung der kontinuierlichen Transformation
aus der physikalischen Größe δF (t)
Die physikalische Größe δF (t), definiert in (2.24),
lautet im Hamilton-Formalismus
N
δF (t) = piδΛijqj − H δt(t) . (2.37)
i,j=1
Wir bilden damit die Poisson-Klammern
N
{ql, δF } = {ql, pi}δΛijqj − {ql, H} δt
und
=
=
{pl, δF } =
=
= −
i,j=1
N
δliδΛijqj − ∂H
δt
∂pl
i,j=1
N
δΛljqj − ˙ql δt
j=1
N
piδΛij{pl, qj} − {pl, H} δt
i,j=1
N
piδΛij(−δlj) + ∂H
δt
∂ql
i,j=1
N
δpiΛil − ˙pl δt .
i=1
(2.38)
(2.39)
Wir vergleichen die Poisson-Klammer (2.38) mit der infinitesimalen
Transformation der verallgemeinerten Koordinaten
(2.23) und erhalten
δqi(t) = q ′ i(t) − qi(t) = {qi(t), δF (t)} . (2.40)
Aus (2.11) und (2.29) leiten wir die Formel für die Transformation
der kanonischen Impulse her und erhalten
pi(t) → p ′ i(t ′ ) =
N
j=1
pj(t) Λ −1
ji . (2.41)
Im Falle einer infinitesimalen Transformation gilt für die
Transformationsmatrix Λij = δij + δΛij und Λ −1
ij = δij −
δΛij. Somit finden wir die infinitesimale Transformation
des kanonischen Impulses
pi(t) → p ′ i(t ′ ) = pi(t) −
N
pj(t) δΛji . (2.42)
j=1
In Analogie zu (2.23) betrachten wir die Differenz der
kanonischen Impulse
δpi(t) = p ′ i(t) − pi(t)
= [p ′ i(t) − p ′ i(t ′ )] + [p ′ i(t ′ ) − pi(t)]
= − ˙pi(t) δt(t) −
N
pj(t) δΛji .
j=1
(2.43)
Diese Formel vergleichen wir mit der Poisson-Klammer
(2.39). Als Ergebnis erhalten wir dann die Gleichung
δpi(t) = p ′ i(t) − pi(t) = {pi(t), δF (t)} . (2.44)
Die Gleichungen (2.40) und (2.44) stellen eine Verallgemeinerung
der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen auf
kontinuierliche Transformationen dar und sind somit ein
wichtiges Ergebnis.
Wir betrachten weiterhin die allgemeine physikalische
Größe A(t), definiert in (2.33), unter der kontinuierlichen
Transformation. Die Transformationsformel lautet
A(t) = A(q(t), p(t), t) → A ′ (t ′ ) = A(q ′ (t ′ ), p ′ (t ′ ), t ′ ) .
(2.45)
Wir betrachten wieder die infinitesimale Differenz
δA(t) = A ′ (t) − A(t)
= A(q ′ (t), p ′ (t), t) − A(q(t), p(t), t)
=
N
∂A
δqi(t) +
∂qi
∂A
δpi(t) .
∂pi
i=1
4
(2.46)
Für δqi(t) und δpi(t) setzen wir die Gleichungen (2.40)
und (2.44) ein. Dann erhalten wir
δA(t) =
N
∂A
{qi(t), δF (t)} +
∂qi
∂A
{pi(t), δF (t)}
∂pi
i=1
= {A(t), δF (t)} .
(2.47)
Als Ergebnis finden wir also auch für die allgemeine
physikalische Größe A(t) = A(q(t), p(t), t) die Verallgemeinerung
der Hamiltonschen Bewegungsgleichung auf
kontinierliche Transformationen
δA(t) = A ′ (t) − A(t) = {A(t), δF (t)} . (2.48)
Diese Gleichung stellt ein wichtiges Ergebnis dar. Die
Poisson-Klammer mit der physikalischen Größe δF (t)
auf der rechten Seite kann man als linearen Operator
interpretieren, der die kontinierliche Transformation
erzeugt. Es besteht also ein Zusammenhang zwischen
einer kontinuierlichen Transformation und der physikalischen
Größe δF (t) in beiden Richtungen. Zum einen
kann man aus der kontinuierlichen Transformation mit
der Formel (2.24) oder (2.37) die physikalischen Größe
δF (t) herleiten. Zum anderen kann man mit der verallgemeinerten
Hamiltonschen Bewegungsgleichung (2.48)
die kontinuierliche Transformation aus der physikalischen
Größe δF (t) erzeugen.