Lagrange-Formalismus für Elektrodynamik und Gravitation

und es folgt
S ′ M − SM = 1
d
c V4
4 x √
−g Dµ (T µ ν − t µ ν) δx ν (x) + f λµ ν [Dλδx ν (x)] +
− 1
d
c
4 x √ −g [DµT µ ν] δx ν (x)
V4
= 1
d
c V4
4 x √ −g Dµ
− 1
d
c V4
4 x √ −g [DµT µ ν] δx ν (x)
= 1
d
c V4
4 x √
−g Dµ (T µ ν − t µ ν − Dλf λµ ν) δx ν N
(x) +
i,j=1
d 4 x √
−g DµDλ[f λµ ν δx ν (x)] − [DµT µ ν] δx ν
(x) .
+ 1
c
V4
N
i,j=1
p µ
i δIij
qj
(T µ ν − t µ ν − Dλf λµ ν) δx ν (x) + Dλ[f λµ ν δx ν (x)] +
p µ
i δIij
qj
N
i,j=1
p µ
i δIij
qj
Aus der letzten Formel von (5.69) folgt fλµν = −fµλν. Daher ist fλµνδx ν (x) ein antisymmetrische Tensor, und es gilt
18
(5.70)
D µ D λ [fλµνδx ν (x)] = 0 . (5.71)
Wir formen den ersten Term in (5.70) mit dem Satz von Gauß um und erhalten dann
S ′ M − SM = 1
√
dσµ −g (T
c ∂V4
µ ν − t µ ν − Dλf λµ ν) δx ν (x) +
− 1
c
V4
d 4 x √ −g [DµT µ ν] δx ν (x) .
Die Wirkung der Materie SM ist invariant unter einer
beliebigen Transformation der krummlinigen Koordinaten
mit beliebigem δx ν (x). Aus dem ersten
Term folgt daher der Zusammenhang zwischen dem
symmetrischen Energie-Impuls-Tensor (5.26) und dem
kanonischen Energie-Impuls-Tensor (4.39)
T µν = t µν + Dλf λµν , (5.73)
und aus dem zweiten Term folgt die Kontinuitätsgleichung
DµT µν = 0 (5.74)
für die lokale Erhaltung von Energie und Impuls. Die Differenz
der Wirkungen der Materie vereinfacht sich dann
auf einen einzigen Term
S ′ M − SM = 1
√
dσµ −g
c ∂V4
N
i,j=1
p µ
i δIij qj . (5.75)
mit der infinitesimalen Transformationsmatrix δIij der
inneren Freiheitsgrade.
Wir betrachten nun gesamte Wirkung S = SG + SM
aus Gravitation und Materie. Wir addieren die beiden
N
i,j=1
p µ
i δIij
qj
(5.72)
Gleichungen (5.53) und (5.75) und erhalten das Ergebnis
S ′ − S = 1
√
dσµ −g
c ∂V4
N
i,j=1
p µ
i δIij qj . (5.76)
Wir nehmen an, das vierdimensionale Volumen V4 ist
wiederum durch zwei raumartige Hyperflächen σ1 und
σ2 begrenzt, so daß dieselben Überlegungen durchgeführt
werden können wie bei (4.29)-(4.31). Als Ergebnis erhalten
wir die physikalische Größe
δF [σ] = 1
√
dσµ −g
c σ
N
i,j=1
p µ
i δIij qj . (5.77)
Offensichtlich gibt es nur einen Term bezüglich der
Transformation der inneren Freiheitsgrade. Alle Terme
bezüglich den krummlinigen Koordinaten-Transformationen
fallen heraus, weil für die Gravitation die krummlinigen
Koordinaten-Transformationen eine Eichtransformation
darstellen.