Lagrange-Formalismus für Elektrodynamik und Gravitation

D. Kontinuierliche Transformationen
und physikalische Größen
Wir betrachten eine beliebige nichtlineare Transformation
der krummlinigen Koordinaten
x µ → x ′µ = f µ (x) . (4.18)
Die Transformation bewegt und deformiert das physikalische
System in der vierdimensionalen Raumzeit. Das
System wird immer deformiert außer im Spezialfall einer
räumlichen oder zeitlichen Translation, einer Drehung
oder einer Lorentz-Transformation. Die Felder qi(x) werden
linear transformiert mit der Formel
qi(x) → q ′ i(x ′ ) =
N
Λij qj(x) . (4.19)
j=1
wobei die Matrix Λij = Λij(∂x ′ /∂x) mit der lokalen
Jacobi-Matrix ∂x ′µ /∂x ν der Koordinatentransformation
(4.18) zusammenhängt. Wie genau der Zusammenhang
aussieht, hangt davon ab, ob die Felder qi(x) ein Tensorfeld
bilden und von welcher Stufe das Tensorfeld ist.
S ′ − S = 1
c V ′
4
= 1
c
V ′
d
4
4 x ′
−
+ d 4 x
= 1
c V4
+ 1
d
c V4
4 x
+ 1
d
c
4 x −g(x)
Die Felder können auch zusätzliche innere Freiheitsgrade
enthalten. Lineare Transformationen bezüglich dieser inneren
Freiheitsgrade werden ebenfalls durch die Matrix
Λij beschrieben.
Das Volumen V4 in der vierdimensionalen Raumzeit
wird durch die Transformation bewegt und deformiert in
V ′
4. Die nichtlineare Transformation soll eine Bewegung
und Deformation des Physikalischen Systems darstellen,
wobei das Koordinatensystem nicht verä ndert wird. Daher
wird die Metrik gµν = gµν(x) nicht transformiert,
sondern wird als gegebene Funktion von x betrachtet.
Vor und nach der Transformation ist das Wirkungsintegral
gegeben durch
S = 1
c
S ′ = 1
c
d 4 x ′ −g(x ′ ) L(q ′ (x ′ ), D ′ q ′ (x ′ ), x ′ ) − 1
V4
V ′
4
Wir bilden die Differenz
c
V4
d 4
x −g(x ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
) L(q (x ), D q (x ), x )
d 4 x −g(x) L(q(x), Dq(x), x) , (4.20)
d 4 x ′ −g(x ′ ) L(q ′ (x ′ ), D ′ q ′ (x ′ ), x ′ ) . (4.21)
d 4 x −g(x) L(q(x), Dq(x), x)
V4
−g(x ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
) L(q (x ), D q (x ), x ) − −g(x) L(q(x), Dq(x), x)
V4
4 4
d f(x) − d x −g(x ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
) L(q (x ), D q (x ), x )
V4
−g(x ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
) L(q (x ), D q (x ), x ) − −g(x) L(q (x), Dq (x), x)
L(q ′ (x), Dq ′
(x), x) − L(q(x), Dq(x), x) .
Wir nehmen an, daß die Transformation kontinuierlich ist und sich somit durch kontinuierliche Parameter beschreiben
läßt. Folglich muß auch die infinitesimale Transformation
8
(4.22)
x µ → x ′µ = x µ + δx µ (x) , (4.23)
N
δΛij qj(x) (4.24)
qi(x) → q ′ i(x ′ ) = q ′ i(x) +
existieren mit infinitesimalen Parametern δx µ (x) und δΛij = δΛij(∂δx. Das vierdimensionale Volumen-Differential
d 4 x transformiert sich mit der Formel
j=1
d 4 x → d 4 x ′ = d 4 x [1 + ∂µδx µ (x)] . (4.25)
Wir setzen dies alles ein in (4.22) und entwickeln bis zur linearen Ordnung in den infinitesimalen Parametern. Dann