Mikrowellen-Technologie

Fortgeschrittenen-Praktikum 1
Mikrowellen-Technologie
Marc Sacher
Karl-Peters-Str. 37
33605 Bielefeld
msacher@uni-bielefeld.de
22. Januar 2000
Nils Wiese
Falkenstr. 25
33803 Steinhagen
nils.wiese@uni-bielefeld.de

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 2
2 Theorie 2
2.1 Erzeugung von Mikrowellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Reflexklystron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Hohlleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 weitere Bauteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Versuch 14
3.1 Eigenschaften des Reflexklystrons . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Messung von Frequenz, Wellenlänge und Dämpfung . . . . . . 17
3.3 Messung des Stehwellenverhältnisses . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 Impedanzmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5 Antennenmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1

1 Einleitung
Bei Mikrowellen handelt es sich um elektromagnetische Wellen mit Wellenlängen
zwischen 0, 1 und 10cm. Das entspricht einem Bereich im Frequenzband
von 3 bis 300 GHz, womit die Mikrowellen genau den Frequenzbereich
zwischen sichtbaren Licht und Radiowellen einnehmen. Eine besondere Eigenschaft
ist daher auch, daß in der Mikrowellen-Technologie sowohl die optischen,
als auch die elektrodynamischen Gesetzmäßigkeiten ihre Anwendung
finden.
Die wichtigsten Einsatzgebiete der Mikrowellen-Technologie sind heute:
• Dopplerradar - Messung von Geschwindigkeiten und Entfernungen
• Richtfunktechnik - Übertragung von Informationen mittels der hohen
Trägerfrequenz der Mikrowellen
• Mikrowellenherd - Anregung von Wasserdipolen in Lebensmitteln
• MASER - Microwave Amplification by Stimulated Emisson of Radiation
• Mikrowellenspektroskopie
In diesem Versuch beschäftigen wir uns mit den Grundlagen der Mikrowellen-
Technologie, d.h. deren Erzeugung, Frequenzmessung, Fortleitung und
Dämpfung.
2 Theorie
2.1 Erzeugung von Mikrowellen
Klassisch betrachtet geht es im wesentlichen um die Anfachung von Elektronen
zu kollektiven Schwingungen. Diese werden von elektromagnetischen
Wellenfeldern begleitet, die dann auf Leitungen oder in Wellenleitern geführt
werden oder sich in den freien Raum ausbeiten können. Die Selbsterregung,
Aufrechterhaltung und Verstärkung von Schwingungen folgt immer dem gleichen
Prinzip: Man braucht eine Energiequelle, ein schwingungsfähiges Gebilde
und einen Rückkopplungs-Mechanismus, der Energie in den richtigen
Augenblicken aus der Quelle in den Resonator einspeist. Aufgrund der hohen
Frequenzen der Mikrowellen eignen sich gewöhnliche LC-Schwingkreise, wie
sie in der Elektrotechnik oft Verwendung finden, nicht mehr zur Erzeugung.
2

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Abbildung 1: Aufbau des Reflexklystrons
Es würden einerseits extrem kleine Induktivitäten und Kapazitäten nötig sein
(ν ∼ 1/ √ LC), andererseits müßte auch die gesamte Schaltung sehr klein sein,
um die Laufzeiten der Elektronen niedig zu halten. Dieser zusätzliche Aufwand
ist aber nicht nötig, da man die längeren Laufzeiten der Elektronen
mit einem besonderen Aufbau (Reflexklystron) geschickt ausnutzen kann.
2.2 Reflexklystron
Die wichtigsten Bauteile eines Reflexklystrons sind die Kathode, der Reflektor
und der Resonator (siehe Abbildung 1).
Das Kernstück bildet der Resonator (Hohlraum), der wie ein LC-
Resonanzkreis aufgebaut ist. Zwei parallele Gitter wirken wie ein einfacher
Plattenkondensator, die zylinderförmige Verbindung an den Seiten wirkt wie
eine Spule mit einer Windung. Analog zu einem LC-Resonanzkreis oszilliert
die Ladung zwischen“Kondensatorplatten”und“Spulen”, so daß abwechselnd
mit einer Phasenverschiebung von T ein elektrisches und magnetisches Feld
4
entsteht (siehe Abbildung 2).
Energieverluste am Resonator durch Eigenwiderstand des Schwingkreises und
Auskopplung von Energie in Form von Mikrowellen, werden durch folgenden
Mechanismus ausgeglichen. Die Elektronen werden von der Kathode emittiert,
durch ein am Gitter angelegtes Potential UB auf der Strecke D be-
3
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©
¡

Abbildung 2: Felder im Resonator
schleunigt und erhalten die kinetische Energie:
eUB = 1
2 mv2 0
2eUB
⇒ v0 =
m
Zwischen den beiden Gittern liegt aufgrund der Schwingung eine Wechselspannung
Uw = Û sin ωt an, aufgrund derer die Elektronen beschleunigt oder
abgebremst werden. Als Ergebnis eilen einige Elektronen relativ zur mittleren
Strahlgeschwindigkeit voraus und einige bleiben zurück. Dadurch bilden sich
an einigen Positionen entlang des Strahls Elektronenpakete aus. Die Scheitelspannung
Û ist kleiner als UB, so daß alle Elektronen, die das erste Gitter
passieren, auch durch das zweite gelangen. Sie haben dann ein Geschwindigkeit
von:
2e
v = UB + Û sin ωt
m
= 2e
1 + Û
sin ωt
m UB
Û
= v0 · 1 +
UB
UB
sin ωt
(1)
≈
v0 · 1 + Û
sin ωt
2UB
Taylorentw.
≡ v0 + ∆v (2)
Mit dieser Geschwindigkeit treten sie in das elektrische Feld E = UB+UC
L
zwischen zweitem Gitter und Reflektor ein, wobei L den Abstand bezeichnet.
4

Für ihre Gesamtgeschwindigkeit vg ergibt sich vg = (v0 + ∆v) − at, wobei für
die Beschleuniung a gilt:
a = eE
m
= e
m
UB + UC
L
Integrieren wir diese Gleichung und setzten die untere Integrationsgrenze
gleich Null, so erhält man eine Funktion für den Aufenthaltsort der Elektronen
zwischen Gitter und Reflektor:
s(t) = (v0 + ∆v)t − 1
2 at2
Wir setzen nun s(t) = 0, um die Zeit zu bestimmen, nach welcher die Elektronen
wieder am Gitter eintreffen. Dazu lösen wir unsere Gleichung nach t
auf:
0 = s(t) = t (v0 + ∆v) − 1
2 at
⇒ t = 0 triviale Lösung
∨ t = 2 v0 + ∆v
a
An dieser Formel sieht man, daß für unterschiedliche Austrittsgechwindigkeiten
vg auch unterschiedliche Laufzeiten resultieren. Dieses kann man anhand
Abbildung 3 verdeutlichen. Darin sind die aus dem Gitter austretenden
Elektronenpakete als Punkte dargestellt, die eine passend zur Phasenlage des
Resonators unterschiedliche Geschwindigkeit haben. Daher legen die Pakete
einen unterschiedlich langen Weg im Feld zwischen Gitter und Reflektor zurück,
bevor sie von der Gegenspannung UC zur Umkehr gezwungen werden.
Aus diesem Grund treffen einige Elektronenpakete zur gleichen Zeit am Resonator
ein. Geschieht dieses zu einem Zeitpunkt, zu dem das elektrische Feld
im Resonator gerade in “Flugrichtung” steht, so wird das elektrische Feld
im Gitter verstärkt. Das liegt daran, daß die Elektronenpakete im Feld ab-
gebremst werden und Energie an das Feld des Resonators übertragen wird.
Da das elektrische Feld gerade nach 3T
in der “Flugrichtung” maximal wird,
4
kann zu diesem Zeitpunkt die meiste Energie auf den Resonator übertragen
werden. Natürlich kann die Energieübergabe auch um nT n ∈ N Schwingungen
verspätet stattfinden. Insgesamt ergibt sich also die Bedingung für
die Flugzeit t:
t = n + 3
· T (6)
4
5
(3)
(4)
(5)

Abbildung 3: “Elektronenfahrplan” eines Reflexklystrons [5]
Betrachten wir Gleichung (5) für den Spezialfall, daß die Elektronen weder
bechleunigt noch abgebremst werden (Uw = 0 ⇒ v = v0), so gilt in Verbin-
dung mit Gleichung (6):
n + 3
4
· T = t
= 2v0
a
= 2mv0
e
L
UB + UC
Verwenden wir nun Gleichung (1) und ν = 1 , so ergibt sich schließlich eine
T
Beziehung zwischen der Modenzahl n und den Klystronspannungen:
n + 3
8 UB m/e
= L ν
(7)
4
UB + UC
Es gibt bei gegebenem UB für jede Mode n ein bestimmtes UC. Um den Abstand
L zwischen Resonator und Reflektor aus Gleichung (7) zu bestimmen,
6

etrachtet man zwei benachbarte Moden n und n + 1 und bildet daraus die
Differenz:
n + 1 + 3
− n +
4
3
⎛
⎞ ⎛
⎞
8 UB m/e
8 UB m/e
= ⎝L νn+1
⎠ − ⎝Lνn
⎠
4
UB + UCn+1
UB + UCn
νn+1 νn
⇒ 1 = L 8 UB m/e
−
UB + UCn+1 UB + UCn
−1 νn+1 νn
⇒ L = 8 UB m/e
−
(8)
UB + UCn+1 UB + UCn
Setzt man Gleichung (8) in die Beziehung (7) ein, so erhält man sofort einen
einfachen Ausdruck für die Mode n, der nur noch von den Klystronspannungen
und den Frequenzen abhängt:
n =
νn+1
νn
UB + UCn
UB + UCn+1
− 1
−1
− 3
4
Zuletzt gehen wir noch kurz darauf ein, wie ein Teil der Energie aus dem
Resonator nach außen geführt wird. Hierzu wird in den Hohlraum eine Kopplungsschleife
eingebaut, in der durch das magnetische Wechselfeld im Resonator
ein elektrisches Feld induziert wird. Dieses wird auf eine Sendeantenne
übertragen und in einen Rechteckhohlleiter (siehe Kapitel 2.3) eingekoppelt.
Natürlich darf dem Klystron nur soviel Energie entzogen werden, daß die
Resonanzschwingung aufrechterhalten wird. Um zu gewährleisten, daß keine
Mikrowellenenergie in das Klystron zurückgestreut wird, baut man direkt
hinter den Ausgang einen Einwegleiter (Ferrit-Isolator) ein.
2.3 Hohlleiter
Hohlleiter werden zur Fortleitung von Mikrowellen benutzt, da bei gewöhnlichen
Drähten ein zu großer Strahlungsverlust auftritt und der Skin-Effekt
(Ströme fließen nur an Oberflächen) zu Problemen führt. Häufig werden
Rechteckhohlleiter benutzt, die sich durch eine Geometrie auszeichnen, wie
sie in Abbildung 4 verdeutlicht wird.
Läßt man Mikrowellen auf eine leitende Platte treffen, so werden die Wellenzüge
reflektiert. Wie man in Abbildung 6 erkennt, läßt sich jeweils in einer
Knotenebene eine zweite Metallplatte einfügen, ohne daß sich das Feldbild
zwischen den Platten verändert. Der Plattenabstand muß ein halbzahliges
7
(9)

z
b
y
a
Abbildung 4: Rechteckhohlleiter
Abbildung 5: Ausbreitung im Hohlleiter
Vielfaches der Projektion der Vakuumwellenlänge λ0 auf die Flächennormale
sein.
Bezeichnet man den Abstand zweier Flächen in x-Richtung mit a und in
y-Richtung mit b, so ergeben sich nach Abbildung 5 die Bedingungen:
a = mλ0
2 sin θ
b = nλ0
2 sin θ
x
für x-Richtung
für y-Richtung (10)
Steht die Welle senkrecht zur Hohlrohrachse (z-Richtung), d.h. θ = 90 ◦ , dann
ist durch das Hohlrohr kein Energietransport mehr möglich. Einsetzen in die
obige Formel und Auflösen nach λ0, liefert die größtmögliche Wellenlänge im
8

Abbildung 6: Reflexion an einer Metallplatte
Hohlleiter. Diese Wellenlänge nennt man cut-off Wellenlänge λc.
λcx = 2a
m bzw. λcy = 2b
n
Daraus berechnet sich die Grenzfrequenz νc:
νc = c
λc
⇒ νcx = cm
2a
mit c = 2.99 · 10 8 m/s
bzw. νcy = cn
2b
(11)
(12)
Wendet man den Satz von Pythagoras an, so erhält man eine allgemeine
Formel für die Wellenlänge λc in einem Rechteckhohlleiter:
νc =
cm2
cn 2
νcx + νcy = +
2a 2b
⇒ 1
m 2
n 2
= +
λc 2a 2b
2
⇒ λc =
2 m + a
(13)
2
n
b
Die Zahlen n und m sind natürliche Zahlen, die die verschiedenen Moden im
Hohlleiter bezeichnen. Es gibt zwei verschiedene Arten, nämlich die “transversal
elektrischen” (TE) und die “transversal magnetischen” (TM) Moden.
9

Die vollständige Bezeichnung einer Mode ist somit TEm,n bzw. TMm,n. Ein
elektrisches Feld, welches überall senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung (der
Hohlleiterachse) steht, wird z.B. mit TE1,0 bezeichnet. Selbiges gilt für das
magnetische Feld. Als Spezialfall ist der TEM-Modus zu nennen, bei dem
sowohl das elektrische als auch das magnetische Feld senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung
stehen.
In einem Rechteckhohlleiter definiert man die Hohlleiterwellenlänge λh als die
Projektion der Vakuum-Wellenlänge λ0 auf die Ausbreitungsrichtung entlang
der Platten (siehe Abbildung 5):
λh = λ0
=
=
cos θ
λ0
√
2 1 − sin θ
λ0
1 − 2 λ0
λc
(14)
Als Beispiel berechnen wir hier noch einmal die Hohlleiterwellenlänge λh und
die Grenzwellenlänge λc für die TE1,0 Mode:
λc =
λh =
2 1
a
2
+ 0
b
λ0
1 − 2 λ0
2a
2 = 2a
(15)
Bisher haben wir sämtliche Formeln aus Gesetzen hergeleitet, die an die Optik
(Brechung) angelehnt sind. Um die Ausreitung der elektomagnetischen
Wellen im Hohlleiter mit Hilfe der Elektrodynamik zu beschreiben, gebrauchen
wir die Maxwellgleichungen für eine Ausbreitung im Vakuum, d.h. die
Ladungsdichte ϱ und die Stromdichte j werden gleich Null gesetzt:
∇ · E = 0
− 1 ∂
c ∂t E + ∇ × B = 0 (16)
∇ · B = 0
1 ∂
c ∂t B + ∇ × E = 0
Durch die besondere Geometrie des Leiters erhalten wir zwei Randbedingungen:
Da man von ideal leitenden Wänden des Hohlleiters ausgeht, muß der
10

parallel zu den Wänden liegende E-Feldanteil und der senkrecht stehende
B-Feldanteil verschwinden:
E = 0 und B⊥ = 0 (17)
Eine allgemeine Lösung der Maxwellgleichungen im quellfreien Raum ist dann
gegeben durch:
Verwedet man nun k = 2π
2π
λ0
=
E = E0 e i(ωt− kx)
mit: k =
k 2 x + k 2 y + k 2 z
so erhält man:
λ
2 2π
λx
+
2π
λy
2
2π
+
Für die einzelnen λi gelten folgende Randbedingungen:
• freie Ausbreitung der Welle in z-Richtung
λz
2
(18)
(19)
• durch den Hohlleiter beschränkte Ausbreitung in x- und y-Richtung
(0 < x < a und 0 < y < b)
• Das E-Feld verschwindet auf dem Leiterrand, d.h. E = 0
Aus den letzten beiden Bedingungen folgt (vgl. Abbildung 5):
λx = 2a
m bzw. λy = 2b
n
Setzen wir dieses in Gleichung (19) ein und nennen die Wellenlänge in Ausbreitungsrichtung
Hohlleiterwellenlänge (λz ≡ λh), so erhalten wir:
1 m 2
n 2 2 1
= + +
λ0 2a 2b λh
1
⇒ λh =
− 2 m − 2a
2 n + 2b
(20)
2
1
λ0
Physikalisch sinnvoll ist nur eine positive Diskriminante, also muß gelten:
2
1 m 2
n 2
> + ≡
λ0 2a 2b
1
λ2 c
1
⇒ λc =
2 m + 2a
> λ0
2
n
2b
11

Hieran sieht man, daß sich im Hohlleiter eine Welle nur ausbreiten kann, wenn
die Wellenlänge an Luft kleiner als die cut-off-Wellenlänge ist. Diese erreicht
bei einem Hohlleiter mit vorgegebener Geometrie ihr Maximum, wenn n und
m minimal sind. Unter Verwendung von λc ergibt sich aus Gleichung (20):
λh =
λ0
1 − 2 λ0
λc
(21)
Man sieht, daß sowohl die Behandlung im Rahmen der Elektrodynamik als
auch die Verwendung der optischen Gesetzmäßigkeiten zu dem gleichen Ergebnis
führt. Diese Besonderheit liegt daran, daß die Wellenlänge der Mikrowellen
genau zwischen dem sichtbaren Licht und der elektromagnetischen
Strahlung liegt.
2.4 weitere Bauteile
Frequenzmesser
Der Frequenzmesser besteht im wesentlichen aus einem Resonator mit einem
Abstimmkolben, der über eine Kurbel einzustellen ist. Die Resonator-
Frequenz ist an einer mechanischen Ziffernanzeige in MHz abzulesen. Der
Resonator ist über ein Loch an den Hohlleiter gekoppelt. Entspricht die Frequenz
im Hohlleiter der eingestellten Resonanzfrequenz, so wird der Leitung
ein kleiner Anteil der Leistung entzogen. Dadurch kommt es zu einer Dämpfung,
die sich in einer kleinen Einbuchtung im Modenpeak (dem sogenannten
Dip) auf dem Oszilloskop bemerkbar macht. Der Fehler dieses Gerätes war
in der Anleitung zum Versuch mit ∆ν = 10MHz angegeben.
Dämpfungsglied
Bei dem Dämpfungsglied handelt es sich um eine Widerstandsfolie, die mit
Hilfe einer Mikrometer-Schraube parallel zum E-Feld verschoben werden
kann. Wenn die Folie in die Mitte des Hohlleiters gebracht wird, entsteht
eine maximale Dämpfung. Die Dämpfungscharakteristik des Abschwächers
haben wir im Versuchsteil 3.2 aufgenommen.
12

Detektor und SWR-Meter
Bei dem Detektor handelt es sich um eine Diode, die auf den benutzten Frequenzbereich
abgestimmt ist (8, 2 . . . 10 GHz). Sie wandelt die elektromagnetischen
Wellen in ein elektrisches Signal um, das man mit einem Oszilloskop
oder SWR-Meter auswerten kann. Arbeitet die Diode im “quadratischen Bereich”
ihrer Kennlinie, so ist die an ihr abfallende Spannung U proportional
zur Leistung P der Welle.
An dem SWR-Meter läßt sich entweder die Signalstärke in dB oder das Stehwellenverhältnis
(SW R - Standing Wave Ratio) ablesen. Die SWR-Skala folgt
der Beziehung
SW R =
Umax
Umin
=
Pmax
Pmin
(22)
Die dB-Skala gibt den Logarithmus der Verhältnisse zwischen zwei gemessenen
Leistungspegeln in der Hohlleitung an
⇒ P
x [dB] = 10 · log P
P0
= 10 x
10 [dB]
Damit ergibt sich das Stehwellenverhältnis zu
SW R =
1/2
P1
P2
Gleitschraubentransformator
=
1/2
P1 P0
P0 P2
P0
=
10 x1−x2 10
1/2
(23)
= 10 x 1 −x 2
20 (24)
Der Gleitschraubentransformator besteht aus einem Hohlleiter, in den man
durch einen Schlitz einen kleinen Stift in die Leitung einbringen kann. Sowohl
die Eindringtiefe der Schraube, als auch die Position in z-Richtung entlang
des Hohlleiters ist beliebig einzustellen. Durch den Stift wird ein Teil der
Mikrowellen im Hohlleiter reflektiert und man erhält je nach Stifttiefe eine
stehende Welle mit unterschiedlichen Amplituden.
13

Stehwellendetektor
Bei dem Stehwellendetektor handelt es sich ebenfalls um ein Hohlleiterstück,
dessen Breitseite mit einem Schlitz versehen ist. Durch diesen wird eine Sonde
(Antenne) eingeführt, die dann entlang der Leitung bewegt und deren
Position auf einer Millimeter-Skala abgelesen werden kann. Das Mikrowellensignal
wird über die Sonde auf eine Diode gekoppelt, die wie der Detektor
ein elektrisches Signal ausgibt. Mit diesem Bauteil ist es möglich, bei einer
stehenden Welle die Intensitäten zu bestimmen. In unseren versuchen interessierte
insbesondere die Abstände zwischen Maxima und Minima.
Kurzschluß und Abschluß
Der Kurzschluß sorgt dafür, daß die einlaufenden Wellen reflektiert werden.
Dadurch kann man also eine stehende Welle erzeugen. Der Abschluß hingegen
absorbiert die gesamte einfallende Leistung, so daß keine Reflexionen
auftreten.
Hornstrahler
Um die Mikrowellen abzustrahlen, benötigt man eine geeignete Anpassung
zwischen Hohlleiter und freiem Raum. Der von uns benutzte Hornstrahler
sorgt mit exponentiell gekrümmten Wänden für diese Anpassung. Die Abstrahlungscharakteristik
des Bauteils untersuchen wir im Versuchsteil 3.5.
3 Versuch
Der Grundaufbau des Experimentes bleibt bei allen Teilversuchen gleich. Dieser
Aufbau ist schematisch in Abbildung 7 dargestellt und besteht aus dem
Netztgerät, Klystron, Frequenzmesser, Hohlrohr und dem Abschwächer. Das
Klystron wird von einem Netzgerät gespeist, welches die benötigte Reflektorspannung
UC und die Resonatorspannung UB bereitstellt. Die Reflektorspannung
war am Netztgerät einzustellen und auf einer analogen Anzeige
abzulesen. Den Ablesefehler dieser recht ungenauen Anzeige setzen wir mit
∆UC = 5V fest. An den Grundaufbau werden für die einzelnen Versuchsteile
weitere Bauteile angeschlossen.
14

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©
Abbildung 7: Grundaufbau für alle Versuche
3.1 Eigenschaften des Reflexklystrons
©
Hier war es Aufgabe, die Abhängigkeit von Frequenz und Ausgangsleistung
zur Reflektorspannung zu finden. Hierzu haben wir an den Grundaufbau die
Detektordiode angebracht, und diese mit dem Oszilloskop verbunden, welches
vom Klystron-Netzgerät getriggert wurde. Zunächst haben wir uns ein
Bild von der Wirkungsweise der mechanischen Verstimmung des Resonators
gemacht. Auf dem Oszilloskop erkennt man eine Einstellung, für die die Ausgangsleistung
maximal wird.
Anschließend haben wir die Moden des Reflexklystons untersucht. Dazu haben
wir die Reflektorspannung UC solange variiert, bis ein Moden-Peak auf
dem Oszilloskop deutlich auftauchte. Um den Zusammenhang zwischen Frequenz
und Ausgangsleistung zu bestimmen, haben wir zu den einzelnen Moden
die Frequenzen und Diodenspannungen abgelesen. Die Diodenspannung
ist direkt proportional zur einfallenden Leistung. Die Frequenz haben wir,
wie im Abschnitt 2.4 beschrieben, bestimmt.
Mit Gleichung (8) haben wir dann den Abstand L zwischen Resonator und
Reflektor berechnet, wozu man Reflektorspannung und Frequenz zweier benachbarter
Moden verwendet. Der Fehler ∆L berechnet sich mittels Fehlerfortpflanzung
durch:
15

∆L 2 =
=
=
2 2 2 2 ∂L
∂L
∂L
∂L
∆νn + ∆νn+1 + ∆UCn + ∆UCn+1
∂νn ∂νn+1
∂UCn
∂UCn+1
⎡
−2
−2
νn+1 νn
8 UB m/e ⎣
−
·
UB + UCn+1 UB + UCn
∆νn
⎤2
⎦
UB + UCn
⎡
−2
−2
νn+1 νn
+ 8 UB m/e ⎣
−
·
UB + UCn+1 UB + UCn
∆νn+1
⎤2
⎦
UB + UCn+1
⎡
−2
−2
νn+1 νn
νn∆UCn
+ 8 UB m/e ⎣
−
·
UB + UCn+1 UB + UCn (UB + UCn) 2
⎤2
⎦
⎡
−2
−2
⎢ νn+1 νn
+ 8 UB m/e ⎣
−
·
UB + UCn+1 UB + UCn
νn+1∆UCn+1
⎤2
⎥
2 ⎦
UB + UCn+1
−2 −4
νn+1 νn
8 UB m/e
−
UB + UCn+1 UB + UCn
⎛
2 2
⎜ ∆νn
∆νn+1 νn∆UCn
· ⎝
+
+
UB + UCn UB + UCn+1 (UB + UCn) 2
⎡
2 ⎢
+ ⎣ νn+1∆UCn+1
UB + UCn+1
Mit Gleichung (9) könnten wir die Moden berechnen. Aufgrund der stark
schwankenden Werte für den Resonator-Reflektor-Abstand L erhalten wir
keine zusammenhängende Moden. Da wir diesen Abstand während der Messung
nicht verändert haben, erscheint es uns daher sinnvoll, mit einem Mittelwert
von L = 7, 505 ± 2, 224 und Gleichung (7) die Moden zu berechnen.
Der Fehler ∆n ergibt sich dann aus:
∆n =
=
∂n
∂L ∆L
2
∂n
+
∂ν ∆ν
2 2 ∂n
+ ∆UC
∂UC
8 UB m/e
2
2 2 Lν
(ν∆L) + (L∆ν) + ∆UC
UB + UC
UB + UC
(25)
Alle Werte und zugehörigen Fehler sind in in folgender Tabelle zusammengestellt:
Man erkennt, daß mit fallender Reflektorspannung UC die Modenzahl n
größer wird. Die erhaltenen Werte legen nahe, daß es sich um die Moden
16
⎥
2 ⎦
⎤2⎞
⎟
⎠

UCn [V ] ν [MHz] L [mm] ∆L [mm] n ∆n
20,0 9337,1 24,835 7,578
9,661 6,840
30,0 9336,5 24,058 7,347
8,304 4,724
42,5 9337,1 23,154 7,079
6,455 2,620
60,0 9336,8 21,991 6,734
5,602 1,770
82,5 9335,9 20,651 6,336
Tabelle 1: Ergebnisse zu Abschnitt 3.1
n = 21, . . . , 25 handelt. Allerdings können wir aufgrund des großen Fehlers
nicht ausschließen, daß wir andere aufeinanderfolgende Moden vermessen haben.
3.2 Messung von Frequenz, Wellenlänge und Dämpfung
a) Frequenzmessung
Für diesen Versuch haben wir an den Grundaufbau den verschiebbaren Detektor
und den Abschluß angeschlossen. Diesen Aufbau verwendeten wir auch
in Abschnitt c.
Mit dem Frequenzmesser haben wir eine Frequenz ν = 9336, 7 ± 10 MHz
gemessen. Daraus berechnet sich nach der Formel λ0 = c die Wellenlänge in
ν
Luft und den zugehörigen Fehler erhalten wir durch ∆λ0 = c
ν2
∆ν:
b) Hohlleiter-Wellenlänge
λ0 = 32, 02 ± 0, 034 mm
Hier verwendeten wir anstelle des Abschlusses den Kurzschluß, der uns eine
stehende Welle im Hohlleiter lieferte. Den Abstand d der Maxima und
Minima haben wir mit dem Stehwellendetektor, der an das Oszilloskop angeschlossen
war, ausgemessen. Alle Meßwerte sind in Tabelle 2 aufgelistet.
17

Minimum [cm] d [cm] Maximum [cm] d [cm]
4,86 3,74
2,26 2,22
7,12 5,96
2,26 2,24
9,38 8,20
2,32 2,24
11,70 10,44
2,32
12,76
Tabelle 2: Abstand der Minima und Maxima
Aus dem durchschnittlichen Abstand ¯ d = 22, 66 ± 0, 50 mm haben wir die
Hohlleiterwellenlänge λh = 2 ¯ d = 45, 32 ± 1, 00 mm berechnet. Hieraus folgt
nach Gleichung (21) zusammen mit der größtmöglichen cut-off-Wellenlänge
im Hohlleiter λc = 2a = 45, 72 ± 0, 092 mm die Wellenlänge in Luft:
Dabei gilt:
∆λ0 =
=
λ0 = 32, 19 ± 0, 36mm
2 2 ∂λ0
∂λ0
∆λh + ∆λc
∂λh
∂λc
1
λ2 +
h
1
λ2 ⎡
−3
∆λc ⎣
c λ3 2
∆λh
+
c λ3 ⎤
2
⎦
h
Vergleicht man die Ergebnisse für λ0 der beiden Meßmethoden, so stellt man
fest, daß die Werte innerhalb unserer Fehlergrenzen übereinstimmen.
c) Kennlinie des Abschwächers
Mit Hilfe des SWR-Meters haben wir die Dämpfung bei unterschiedlichen
Stellungen des Abschwächers ausgemessen. In Tabelle 3 sind die Meßwerte
und die relative Dämpfung aufgelistet. In Abbildung 8 haben wir die relative
Dämpfung über der Stellung der Mikrometerschraube am Abschwächer
aufgetragen.
18

Mikrometerschraube [mm] Dämpfung [dB] relative Dämpfung [dB]
0, 00 ± 0, 01 30, 00 ± 0, 25 0, 00 ± 0, 25
0, 50 ± 0, 01 30, 40 ± 0, 25 0, 40 ± 0, 25
1, 00 ± 0, 01 31, 00 ± 0, 25 1, 00 ± 0, 25
1, 50 ± 0, 01 33, 00 ± 0, 25 3, 00 ± 0, 25
2, 00 ± 0, 01 35, 00 ± 0, 25 5, 00 ± 0, 25
2, 50 ± 0, 01 39, 00 ± 0, 25 9, 00 ± 0, 25
3, 00 ± 0, 01 43, 00 ± 0, 25 13, 00 ± 0, 25
3, 50 ± 0, 01 49, 00 ± 0, 25 19, 00 ± 0, 25
4, 00 ± 0, 01 54, 50 ± 0, 25 24, 50 ± 0, 25
4, 50 ± 0, 01 60, 00 ± 0, 25 30, 00 ± 0, 25
5, 00 ± 0, 01 64, 50 ± 0, 50 34, 50 ± 0, 50
5, 50 ± 0, 01 66, 00 ± 1, 00 36, 00 ± 1, 00
6, 00 ± 0, 01 66, 50 ± 1, 00 36, 50 ± 1, 00
6, 50 ± 0, 01 66, 50 ± 1, 00 36, 50 ± 1, 00
7, 00 ± 0, 01 66, 50 ± 1, 00 36, 50 ± 1, 00
7, 50 ± 0, 01 66, 50 ± 1, 00 36, 50 ± 1, 00
8, 00 ± 0, 01 66, 50 ± 1, 00 36, 50 ± 1, 00
8, 50 ± 0, 01 66, 50 ± 1, 00 36, 50 ± 1, 00
9, 00 ± 0, 01 66, 50 ± 1, 00 36, 50 ± 1, 00
relative Daempfung [dB]
40
35
30
25
20
15
10
5
Tabelle 3: Dämpfungsmessung des Abschwächers
0
0 1 2 3 4 5
Abschwaecherposition [mm]
Abbildung 8: Dämpfungsverhalten des Abschwächers
19

3.3 Messung des Stehwellenverhältnisses
Das Stehwellenverhältnis soll mit drei verschiedenen Methoden bestimmt
werden. Dazu benutzt man neben dem Grundaufbau den Stehwellendetektor,
den Gleitschraubentransformator und den Abschluß. Der Stift des Gleitschraubentransformator
sorgt je nach Eindringtiefe (0, 3, 5, 7 mm) für eine
stehende Welle (siehe Abschnitt 2.4).
a) direkte Methode
Mit Hilfe von Gleichung (24) bestimmen wir aus den gemessenen Leistungen
in den Extrema die Werte für das Stehwellenverhältnis. Bei dieser Methode
ist es wichtig, die Sondentiefe gering zu halten. Taucht man die Sonde zu tief
in den Hohlleiter ein, erhält man eine starke Störung des Feldes. Desweiteren
arbeitet die Diode nur für kleine Leistungen im Proportionalbereich. Die
Ergebnisse aus dieser Messung sind in Tabelle 4 eingetragen.
Stifttiefe [mm] xmax [dB] xmin [dB] SWR ∆ SWR
3 1, 63 ± 0, 50 0, 87 ± 0, 50 1,09 0,09
5 6, 00 ± 0, 75 2, 90 ± 0, 50 1,43 0,15
7 10, 00 ± 1, 00 1, 60 ± 0, 50 2,63 0,34
b) 3dB Methode
Tabelle 4: Ergebnisse der direkten Methode
Die zweite Methode ist die 3 dB Methode. Mit ihr können Fehler durch
Sondenüberlastung vermieden werden, da man nicht aus dem“quadratischen”
Bereich herauskommt. Weiterhin gilt:
3dB = 10 log Pmin
P
⇒ 10 3
10 = Pmin
P
⇒ Pmin ≈ 2 · P
Daher verschiebt man den Detektor soweit, bis die Leistung P doppelt so
groß ist wie im Leistungs-Minimum Pmin, was gleichbedeutend mit einer Signalerhöhung
um 3 dB am SWR-Meter ist. Die Leistung der Stehwelle breitet
20

sich entlang der z-Richtung aus, so daß gilt:
E ∼
2π z
sin und P ∼ E 2
Für einen beliebigen Wert z gilt:
λh
⇒ P ∼ sin 2
2π z
λh
P (z) = Pmin + (Pmax − Pmin) sin 2
2π z
λh
(26)
(27)
Ist d1 der Ort des Leistungsminimums und di (i = 2, 3) der Ort, an dem die
Leistung verdoppelt wurde (d2 links und d3 rechts von d1), und setzen wir
γi = d1 − di, so gilt:
2Pmin = Pmin + (Pmax − Pmin) sin 2
1 2π · 2γi
⇒ Pmin = (Pmax − Pmin) sin 2
⇒ Pmax sin 2
πγi
λh
⇒ Pmax = Pmin + Pmin
sin2
πγi
λh
⇒ Pmax 1
= 1 +
Pmin sin2
πγi
λh
πγi
λh
= Pmin + Pmin sin 2
λh
πγi
Mit Gleichung (22) folgt somit für das Stehwellenverhältnis:
1
SW R = 1 +
sin2 (28)
πγi
λh
Der Fehler für den SWR-Wert berechnet sich nach:
∆SW R =
2 2 ∂SW R ∂SW R
∆λh + ∆γi
∂λh
∂γi
=
−2 γiπ −1/2
−3 γiπ
1 + sin · sin · cos
λh
λh
γiπ
λh
·
π 2
2
πγi
∆γi + ∆λh
λh
21
λ 2 h
λh
(29)

Für die Stifttiefen 0 und 3 mm war es uns nicht möglich Werte für das SW R
zu bestimmen, weil der Unterschied zwischen Maximum und Minimum unter
3 dB blieb. Mit den Stifttiefen 5 und 7 mm haben wir die in Tabelle 5 wiedergegebenen
Werte gemessen. Dabei haben wir den Ort des Leistungsminimums
mit d1 bezeichnet, und jeweils links (d2) und rechts (d3) die Positionen ausgemessen,
bei denen wir einen Leistungsanstieg um 3dB festgestellt haben.
Stifttiefe [mm] d1 [cm] d2 [cm] d3 [cm] γ2 [cm] γ3 [cm]
5 9,87 9,56 0,31
7,63 7,92 7,29 0,29 0,34
5,36 5,63 5,04 0,27 0,32
7 5,43 6,45 4,52 1,02 0,91
Tabelle 5: Meßdaten der 3dB Methode
Gehen wir von einem Fehler ∆di = 0, 5 mm aus und verwenden die in Abschnitt
3.2 ermittelte Hohlleiter-Wellenlänge von λh = 45, 32 ± 1, 00 mm, so
berechnen sich die in Tabelle 6 aufgestellten Ergebnisse.
Theoretisch würden wir einen Anstieg des Stehwellenverhältnisses mit steigender
Stifttiefe erwarten. Daher ist uns keine plausible Erklärung für dieses
Resultat eingefallen. Möglicherweise wies das SWR-Meter schon während unseres
Versuches einige Fehler auf.
c) Abschwächermethode
Auch bei der Abschwächermethode werden Fehler durch eine Abweichung
vom “quadratischen” Bereich des Detektors umgangen. Hierzu gleicht man
die maximale Leistung Pmax der minimalen Leistung Pmin an, indem man
die Abschwächung erhöht. Aus den Positionen der Mikrometerschraube am
Abschwächer können wir mit Hilfe der in Versuchsteil 3.2 aufgenommenen
Stifttiefe [mm] γ2 [cm] γ3 [cm] SWR
5 0, 28 ± 0, 05 5, 28 ± 0, 91
5 0, 32 ± 0, 05 4, 65 ± 0, 70
7 1, 02 ± 0, 05 1, 84 ± 0, 06
7 0, 91 ± 0, 05 1, 97 ± 0, 08
Tabelle 6: Ergebnisse der 3dB-Methode
22

Kennlinie auf die Dämpfung Dmax und Dmin schließen. Die Meßergebnisse
haben wir in Tabelle 7 aufgestellt.
Stifttiefe [mm] Amax [mm] Dämpfung Dmax [dB]
3 2, 77 ± 0, 01 11, 1 ± 1, 0
5 4, 00 ± 0, 01 24, 5 ± 1, 0
7 9, 00 ± 0, 01 36, 5 ± 1, 0
Stifttiefe [mm] Amin [mm] Dämpfung Dmin [dB]
3 2, 69 ± 0, 01 10, 9 ± 1, 0
5 3, 77 ± 0, 01 21, 0 ± 1, 0
7 4, 66 ± 0, 01 32, 0 ± 1, 0
Tabelle 7: Meßdaten zur Abschwächer-Methode
Aus der Differenz der Dämpfung D = Dmax − Dmin läßt sich das Stehwellenverhältnis
berechnen:
Pmax
D = Dmax − Dmin =
= 10 · log Pmax
⇒ SW R = 10 D
20
⇒ ∆SW R =
Pmin
[dB]
= 10 · log SW R 2 = 20 · log SW R
10 D
20 · ln 10 · 1
· ∆D
20
Pmin
Wir erhalten die in Tabelle 8 aufgeführten Werte. Die Ergebnisse dieser Meßmethode
sind für die Stifttiefen 3 und 5mm vergleichbar mit denen in Aufgabenteil
a. Bei der Stifttiefe von 7mm gehen wir davon aus, daß der hier
gefundene Wert genauer ist, da bei der direkten Methode eine Sondenüberlastung
nicht auszuschließen ist.
Stifttiefe [mm] Dämpfung D [dB] SW R ∆SW R
3 0, 2 ± 1, 0 1,02 0,34
5 3, 5 ± 1, 0 1,50 0,41
7 4, 5 ± 1, 0 1,68 0,44
Tabelle 8: Ergebnisse zur Abschwächer-Methode
23

3.4 Impedanzmessung
Der verschiebbare Detektor, der Gleitschraubentransformator und der Abschluß
werden wie im vorherigen Versuch montiert. In diesem Versuch geht
es darum, die Impedanz Z eines unbekannten Bauteils (Gleitschraubentransformator
mit Stifttiefe 5mm und Abschluß) zu bestimmen. Dieses haben wir
für die Frequenzen 9 und 9, 5 GHz durchgeführt.
Für die Impedanz gilt der Zusammenhang Z = R + iY , wobei R den elektrischen
Widerstand und Y den Blindwiderstand bezeichnet. Gibt es im Leiter
keine reflektierte Welle (d.h. Leitung mit Abschluß), so ist das Verhältnis
zwischen elektrischen und magnetischem Feld in allen Punkten entlang der
Leitung gleich. Die zugehörige Impedanz nennt man charakteristischen Impedanz
Z0 der Leitung. Wird die Welle allerdings reflektiert, ist der Wert
der Impedanz nicht mehr an allen Orten konstant und der mathematische
Ausdruck für die Ortsabhängigkeit der Impedanz ist nicht mehr einfach zu
handhaben. Daher benutzt man das Smith-Diagramm als eine grafische Methode
zur Bestimmung der Impedanz.
Zunächst sucht man mit dem Stehwellendetektor einen Ort dmax, an dem sich
ein maximaler Ausschlag ergibt. Hier normiert man das SWR-Meter auf 1.
Verschiebt man die Sonde in ein Minimum (dmin), so erhält man einen SW R-
Wert. Nun ersetzt man das unbekannte Bauteil durch den Kurzschluß, um
eine definierte stehende Welle zu erzeugen und vermißt den Abstand zwischen
zwei aufeinanderfolgenden Minima (dS1 und dS2).
Der Maßstab am äußeren Rand des Smith-Diagramms gibt den Ort entlang
der Leitung an (normiert auf die Hohlleiterwellenlänge). Im Mittelpunkt des
Diagramms ist die charakteristische Impedanz Z0 eingetragen, die auf 1 normiert
ist.
Zur Ermittlung der Impedanz geht man wie folgt vor:
• zeichne einen Kreis mit dem gemessenen SWR um Z0 ein
• berechne D = dmin−dS1
λh
• ist D > 0, dann trage den Wert auf der Skala “zum Sender” ein, ansonsten
auf der Skala “zum Empfänger”
• verbinde den Punkt D mit dem Mittelpunkt Z0
• der Schnittpunkt von Kreis und Gerade definiert uns den Ort Z im
Diagramm
24

• verfolgt man die Koordinatenlinien, so kann man Blindwiderstand Y
und Wirkwiderstand R ablesen.
Ergebnisse und Meßwerte sind in Tabelle 9 zusammengestellt.
3.5 Antennenmessung
9,0 [GHz] 9,5 [GHz]
dmax [mm] 101,5 82,0
dmin [mm] 115,1 93,7
SW R 1,45 1,36
dS1 [mm] 110,0 97,3
dS2 [mm] 85,5 75,2
λh [mm] 49,0 44,24
D 0,10 -0,08
Z [Ω] 0, 70 + 1, 2 i 0, 71 + 0, 9 i
Tabelle 9: Bestimmung der Impedanz
Die Leistung des Klystrons wird nun mit einem Hornstrahler in den freien
Raum abgestrahlt. Ein in 1, 5m Entfernung aufgebautes zweites Horn ist an
das SWR-Meter angeschlossen. Die Richtungscharakteristik des Hornstrahlers
wird nun aufgenommen, indem man das Empfangs-Horn in 5◦-Schritten verschiebt und die Leistung in dB notiert. Diese wird nach Gleichung (23)
umgerechnet (siehe Tabelle 10) und im Polardiagramm über den Winkel auf-
getragen. Den 3dB-Öffnungswinkel ist der Winkel, bei dem die Leistung um
3dB gesunken ist, also auf die Hälfte der bei 0 ◦ gemessenen Leistung (vgl.
Abschnitt 3.3). Aus dem Polardiagramm haben wir den 3dB- Öffnungswinkel
bei beiden Frequenzen mit θ = 25 ◦ bestimmt. Man erkennt aber, daß die
Richtungscharakteristik frequenzabhängig ist. Leider konnten wir keine Nebenkeulen
aufnehmen.
Zur Bestimmung des Antennengewinns G vergleicht man die Leistung des
Hornstrahlers mit der eines gedachten Kugelstrahlers. Mißt man die eingestrahlte
Leistung Pe, indem man Sende- und Empfangshorn im Abstand
R = 1, 5 ± 0, 05m gegenüberstellt, und die abgestrahlte Leistung mit dem
Detektor direkt am Wellenleiter, so gilt:
G = 4πR
·
λ0
25
Pe
Pa
(30)

9 GHz 9,5 GHz
θ [ ◦ ] P
P0 [dB] 0 0,0 1,00 0 0,0
P
P0
1,00
5 -0,6 0,87 5 -0,3 0,93
10 -2,3 0,60 10 -1,9 0,65
15 -4,0 0,40 15 -4,5 0,35
20 -6,0 0,25 20 -8,0 0,16
25 -8,5 0,14 25 -11,0 0,08
30 -9,5 0,11 30 -16,0 0,03
35 -18,0 0,02
40 -18,5 0,01
θ [ ◦ ] P
P0 [dB] P
P0
Tabelle 10: Antennenmessung
Wir bestimmen allerdings nur relative Leistungen in dB, so daß folgt:
G = 4πR
⇒ ∆G =
=
· 10
λ0
Pa−Pe
20
2
∂G
∂G
∆λ0 +
∂λ0 ∂R ∆R
2 2 2 ∂G
∂G
+ ∆Pe + ∆Pa
∂Pe ∂Pa
4π
10 Pe−Pa
R∆λ0
·
20 λ2 2 2
2 ∆R R ln(10)∆Pe
+ +
+
0 λ0
20λ0
R ln(10)∆Pa
Wir haben bei einer Frequenz von 9, 5GHz für Pe = 32 ± 0, 2dB und für
Pa = 60 ± 0, 5dB gemessen. Daraus ergibt sich ein Antennengewinn G =
23, 4 ± 1, 6.
26
20λ0
2

Literatur
[1] Philips - Experimente mit Mikrowellen I
[2] A.M. Portis, F.D. Young: Berkeley Physik Kurs 6
[3] A.J. Baden Fuller: Mikrowellen
[4] H. Vogel: Gerthsen Physik
[5] Käs, Pauli: Mikrowellentechnik
27