Skript zur Vorlesung - Universität Paderborn

102 KAPITEL 6. FIXPUNKTE UND SEMANTISCHE BEREICHE
λ-Abstraktion Wenn e ein stetiger Ausdruck vom Typ E ist und x eine
Variable vom Typ D, dann ist λx ∈ D.e ein stetiger Ausdruck vom Typ
[D → E].
Mit Hilfe der obigen Konstrukte und Notationen können wir nun stetige
Abbildungen definieren. Wir können sogar rekursive Abbildungen definieren.
Dies zeigen wir anhand des Beispiels der Fakultätsfunktion. Zunächst geben
wir eine pseudoprogrammiersprachliche Formulierung an:
function fac(x: nat) : nat {
if x = 0 then 1
else x * fac(x-1)
Diese Funktion drücken wir nun mit Hilfe unserer Sprache aus. Dazu definieren
wir zunächst:
F AC : [N → N⊥] → [N → N⊥]
mit
F AC ≡ λf ∈ [N → N⊥].λx ∈ N.⌊x = 0⌋ → ⌊1⌋|⌊x⌋ · ∗ f(x − 1)
· ∗ bezeichnet dabei die Erweiterung des Produkts · von N auf N⊥.
Dann gilt fac ≡ fix(F AC) und fac(n) ≡ apply(fix(F AC), n)).
6 Zusammenfassung
In diesem Kapitel haben wir uns mit Sätzen über die Existenz von Fixpunkten
von Abbildungen beschäftigt. Es hat sich herausgestellt, daß sich der
klassische Fixpunktsatz von Knaster und Tarski für unsere Zwecke nicht so
gut eignet, da die zugrundeliegenden Strukturen in der Informatik meist keine
vollständigen Verbände sind (und auch nicht vernünftig in solche eingebettet
werden können).
Deshalb haben wir einen Fixpunktsatz für semantische Bereiche und stetige
Abbildungen betrachtet. Der hat darüber hinaus den Vorteil, daß sich damit
der Fixpunkt einer Abbildung approximieren läßt.
Zuletzt haben wir dann Konstruktionsregeln und eine Sprache betrachtet,
mit der wir immer innerhalb der stetigen Abbildungen und der semantischen
Bereiche bleiben. Das spart uns den Aufwand nachzuweisen, daß die Fixpunkte
existieren und insbesondere die Abbildung fix immer wohldefiniert