Skript zur Vorlesung - Universität Paderborn

14 KAPITEL 2. GRUNDLEGENDE BEGRIFFE UND NOTATIONEN
• N bezeichnet die Menge aller natürlichen Zahlen (inkl. 0):
N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
• Z bezeichnet die Menge aller ganzen Zahlen:
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
• B bezeichnet die Menge der Wahrheitswerte:
B = {true, false}.
Oft wird eine Menge X darüber definiert, daß man die Eigenschaft P (x)
aller ihre Elemente x angibt. Das ist insbesondere bei unendlichen Mengen
erforderlich. Dafür benutzt man die Mengenkomprehension: X = {x | P (x)},
wobei P eine Prädikat über bzw. eine Eigenschaft von Objekten bezeichnet.
Eine Menge X heißt Teilmenge einer Menge Y , wenn für jedes Element x ∈ X
auch gilt x ∈ Y . Wir schreiben dafür X ⊆ Y . Die Menge X heißt echte
Teilmenge von Y , wenn wenigstens ein Element y ∈ Y nicht in X vorkommt
(d. h. y ∈ X). Wir schreiben dann X ⊂ Y .
Auf Mengen sind verschiedene Operationen definiert. Für zwei Mengen X
und Y bezeichnen
• X ∪ Y die Vereinigung der Elemente der beiden Mengen,
d. h. X ∪ Y = {z | z ∈ X oder z ∈ Y }.
• X ∩ Y den Durchschnitt der Elemente der beiden Mengen,
d. h. X ∩ Y = {z | z ∈ X und z ∈ Y }.
• X \ Y die Differenz der Elemente der beiden Mengen,
d. h. X \ Y = {x | x ∈ X und x ∈ Y }.
• X × Y das Produkt der beiden Mengen,
d. h. X × Y = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }.
Mit |X| bezeichnen wir die Kardinalität oder die Mächtigkeit der Menge. Für
endliche Mengen ist das die Anzahl der Elemente der Menge. Eine unendliche
Menge hat aber nicht die Kardinalität ” unendlich“ oder ∞! Denn es gibt
verschiedene unendliche Kardinalitäten. Beispielsweise haben die Menge der
natürlichen Zahlen N und die Menge der reellen Zahlen R verschiedene Kardinalität,
genauer |R| > |N|. Allerdings kann eine echte Teilmenge X einer
Menge Y dieselbe Kardinalität haben wie Y . Beispielsweise gilt |N| = |Z|.