Skript zur Vorlesung - Universität Paderborn

32 KAPITEL 3. OPERATIONALE SEMANTIK
Operator definieren, der das Ergebnis des Ausdrucks ausgibt, sobald es aus
dem Ergebnis eines der beiden Argumente folgt.
Im Gegensatz zu den Regeln für die arithmetischen Ausdrücke, gibt es für
die Auswertung der booleschen Ausdrücke in manchen Fällen mehrere Regeln
die man bei der Auswertung anwenden kann. Ein Beispiel dafür ist ein
boolescher Ausdruck b0∧b1 bei dem sowohl b0 als auch b1 zu false ausgewertet
werden. Denn dann sind zwei Regel anwendbar. Glücklicherweise führt
die Anwendung beider Regeln zu demselben Ergebnis. Wir werden in einer
Übung beweisen, daß die Auswertung der booleschen Ausdrücke gemäß der
obigen Definition tatsächlich immer eindeutig ist.
Analog zur Definition der Äquivalenz von arithmetischen Ausdrücken, definieren
wir nun die Äquivalenz der booleschen Ausdrücke. Zwei boolesche
Ausdrücke sind äquivalent, wenn sie in jedem Zustand gleich ausgewertet
werden:
Definition 3.5 (Äquivalenz boolescher Ausdrücke)
Zwei boolesche Ausdrücke b0 und b1 heißen äquivalent, wenn für jeden Zustand
σ und jeden Wahrheitswert t ∈ B die Aussage 〈b0, σ〉 → t genau dann
gilt, wenn auch 〈b1, σ〉 → t gilt. Wenn b0 und b1 äquivalent sind, dann schreiben
wir b0 ∼ b1.
Beispielsweise können wir die Regel von De Morgan als Äquivalenz formulieren:
Für alle booleschen Ausdrücke b0 und b1 gilt b0 ∨ b1 ∼ ¬(¬b0 ∧ ¬b1).
Diese kann man mit Hilfe der Regeln zur Definition der Auswertungsrelation
nachweisen.
3 Semantik der Anweisungen
Nachdem wir nun Ausdrücke auswerten können, werden wir als nächstes die
Semantik von Anweisungen der Programmiersprache IMP angeben. Dabei
definieren wir eine dreistellige Relation über Com, Σ und Σ. Ein Element
dieser Relation geben wir in der folgenden Notation an:
〈c, σ〉 → σ ′
Dabei bedeutet 〈c, σ〉 → σ ′ , daß die Anweisung c im Zustand σ ′ terminiert,
wenn man sie im Zustand σ startet. Für die Zuweisung x:= 5 gilt beispiels-