Skript zur Vorlesung - Universität Paderborn

110 KAPITEL 7. AXIOMATISCHE SEMANTIK
Die Notation für die Substitution erinnert bewußt an die Zustandsmodifikation.
Es gibt aber einen wichtigen Unterschied: Die Substitution operiert
syntaktisch auf einer Formel, also einem syntaktischen Objekt. Die Zustandsmodifikation
operiert auf einem Zustand, also einem semantischen Objekt.
Es besteht aber trotzdem ein enger Zusammenhang zwischen den beiden
Konzepten: das Substitutionslemma.
Lemma 7.1 (Substitutionslemma)
Sei F ∈ F orm eine Formel, v ∈ V eine Programmvariable, a ∈ Aexp ein
Ausdruck, β eine Belegung und σ ein Zustand. Dann gilt β, σ |= F [a/v]
genau dann, wenn β, σ[σ(a)/v] |= F gilt.
Beweis: Das Substitutionslemma läßt sich leicht durch Induktion über den
Aufbau der Ausdrücke und Formeln beweisen.
3 Zusicherungen
Mit diesen Begriffen und der operationalen Semantik können wir nun den
Begriff der Zusicherung und unsere informelle Beschreibung ihrer Gültigkeit
formalisieren.
Definition 7.2 (Zusicherung)
Für zwei prädikatenlogische Formeln A und B und eine Anweisung c nennen
wir {A} c {B} eine Zusicherung.
Die Zusicherung heißt gültig, wenn für jede Belegungen β und jeden Zustand
σ mit β, σ |= A und jeden Zustand σ ′ mit σ ′ mit 〈c, σ〉 → σ ′ auch gilt
β, σ ′ |= B. Für eine gültige Zusicherung schreiben wir auch |= {A} c {B}.
Der Wert der logischen Variablen ändert sich bei den beiden Interpretationen
von A und B nicht (β bleibt gleich); der Wert der Programmvariablen ändert
sich dagegen (die Gültigkeit von A wird bzgl. σ überprüft, die Gültigkeit von
B bezüglich σ ′ ).
Wir geben nun Beweisregeln an, mit deren Hilfe man die Gültigkeit von Zusicherungen
beweisen kann. Am Ende werden wir feststellen, daß wir mit diesen
Regel genau diejenigen Zusicherungen herleiten können, die auch gültig sind.
Da wir das aber a priori nicht wissen benutzen wir für die durch Regeln
herleitbaren Zusicherungen ein anderes Symbol ⊢ {A} c {B}. Diese Regel