Skript zur Vorlesung - Universität Paderborn

38 KAPITEL 3. OPERATIONALE SEMANTIK
” ⇐“: Sei nun also 〈if b then c; w else skip, σ〉 → σ′ herleitbar. Diese Herleitung
kann gemäß der Regeln für die Bedingung, die Anweisung skip
und die Sequenz die beiden folgenden Formen haben:
(1)
d. h. σ ′ = σ und
(2)
.
〈b, σ〉 → false 〈skip, σ〉 → σ
〈if b then c; w else skip, σ〉 → σ
.
. 〈c, σ〉 → σ
〈b, σ〉 → true
′′
〈c ; w, σ〉 → σ ′
〈if b then c; w else skip, σ〉 → σ ′
.
〈w, σ ′′ 〉 → σ ′
Aus diesen Herleitungen müssen wir nun jeweils eine Herleitung für
〈w, σ〉 → σ ′ konstruieren:
Fall (1): In diesem Falle können wir daraus die folgende Herleitung
konstruieren:
.
〈b, σ〉 → false
〈w, σ〉 → σ
Wegen σ ′ = σ ist diese eine Herelitung für 〈w, σ〉 → σ ′ .
Fall (2): In diesem Falle können wir daraus die folgende Herleitung
konstruieren:
.
〈b, σ〉 → true
.
〈c, σ〉 → σ ′′
〈w, σ〉 → σ ′
Dies ist die Herleitung für 〈w, σ〉 → σ ′ .
.
〈w, σ ′′ 〉 → σ ′
Insgesamt haben wir gezeigt, daß wir eine Herleitung für 〈w, σ〉 → σ ′ immer
in eine Herleitung für 〈if b then c ; w else skip, σ〉 → σ ′
” umbauen“
können und umgekehrt. Damit ist also die Äquivalenz beider Anweisungen
bewiesen.