Skript zur Vorlesung - Universität Paderborn

5.
ÄQUIVALENZ DER SEMANTIKEN 81
skip:
Gemäß Def. von C (Def. 5.7) gilt Cskip = idΣ. Für Zustände σ und
σ ′ mit Cskip(σ) = σ ′ gilt also σ = σ ′ . Gemäß der Regel
〈skip, σ〉 → σ
für die operationale Semantik läßt sich dafür auch 〈skip, σ〉 → σ ableiten.
v:=a:
Gemäß Def. von C gilt σ ′ = Cv:=a(σ) = σ[Aa(σ)/v]. Gemäß Lemma
5.8.1 gilt dann auch 〈a, σ〉 → Aa(σ). Mit der Regel
〈a, σ〉 → n
〈v:=a, σ〉 → σ[n/v]
ist dann 〈v:=a, σ〉 → σ[Aa(σ)/v] herleitbar.
c0 ; c1:
Gemäß Def. von C gilt σ ′ = Cc0 ;c1(σ) = Cc1(Cc0(σ)), d. h. es gibt
ein σ ′′ mit σ ′ = Cc1(σ ′′ ) und σ ′′ = Cc0(σ). Gemäß Induktionsvoraussetzung
gilt dann 〈c0, σ〉 → σ ′′ und 〈c1, σ ′′ 〉 → σ ′ . Mit der Regel
〈c0, σ〉 → σ ′′ 〈c1, σ ′′ 〉 → σ ′
〈c0 ;c1, σ〉 → σ ′
läßt sich dann 〈c0 ;c1, σ〉 → σ ′ herleiten.
c ≡ if b then c0 else c1:
Gelte nun σ ′ = Cif b then c0 else c1(σ). Wir unterscheiden zwei
Fälle:
1. Bb(σ) = false:
Gemäß Lemma 5.8.2 gilt dann 〈b, σ〉 → false. Gemäß Def. von
C gilt in diesem Fall σ ′ = Cif b then c0 else c1(σ) = Cc1(σ).
Gemäß Induktionsvoraussetzung gilt damit 〈c1, σ〉 → σ ′ . Mit der
Regel
〈b, σ〉 → false 〈c1, σ〉 → σ ′
〈if b then c0 else c1, σ〉 → σ ′
ist dann 〈if b then c0 else c1, σ〉 → σ ′ herleitbar.