Version vom 06.06.2013 - ZIB

A.1
0
-3 -2 -1 0 1 2 3
P (A, 0) ◦
3
2
1
-1
-2
A.2
P (A, 0)
Abbildung 1.1: Kegel und polarer Kegel
(1.8) Bemerkung (Hausaufgabe). Für S, Si ⊆ K n , i = 1, . . . , k gilt:
(a) Si ⊆ Sj =⇒ S ◦ j ⊆ S◦ i
(b) S ⊆ S ◦◦
(c)
k i=1 Si
◦ = k i=1 S◦ i
(d) S ◦ = cone(S ◦ ) = (cone(S)) ◦
(e) S = lin(S) =⇒ S ◦ = S ⊥ . Gilt die Umkehrung?
1.2 Kegelpolarität
(f) Ersetzen wir in (a), . . . , (d) “◦” durch “⊥”, sind dann auch noch alle Behauptungen
wahr? △
(1.9) Bemerkung (Hausaufgabe). Für welche Mengen S ⊆ K n gilt
(a) S ◦ = S ◦◦◦ ,
(b) S = S ◦ ? △
Die Aussage (1.8)(d) impliziert insbesondere:
(1.10) Korollar. cone(A T ) ◦ = P (A, 0). △
Beweis. (cone(A T )) ◦ = cone((A T ) ◦ ) = (A T ) ◦ = {x | Ax ≤ 0} = P (A, 0). ✷
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