Version vom 06.06.2013 - ZIB

1.6 Rezessionskegel, Linienraum und Homogenisierung
selbst betrachtet sehr interessant. Wir wollen diese Mengen jedoch nur als Hilfsmittel
zur Vereinfachung von Beweisen verwenden, weswegen wir nicht weiter auf theoretische
Untersuchungen dieser Mengen eingehen werden.
(1.42) Definition. Sei S ⊆ K n eine beliebige Menge. Wir definieren
(a) rec(S) := {y ∈ K n | ∃x ∈ S, so dass ∀λ ≥ 0 gilt x + λy ∈ S},
(b) lineal(S) := {y ∈ Kn | ∃x ∈ S, so dass ∀λ ∈ K gilt x + λy ∈ S},
(c) hog(S) := { x
1 ∈ Kn+1 | x ∈ S} ◦◦ .
Die Menge rec(S) heißt Rezessionskegel von S, lineal(S) heißt Linealitätsraum oder
Linienraum von S, und hog(S) heißt Homogenisierung von S. △
Wir wollen nun die oben eingeführten Mengen bezüglich Polyedern charakterisieren.
Nennen wir einen Vektor y mit x+λy ∈ S für alle λ ≥ 0 eine „Richtung nach Unendlich“,
so besteht der Rezessionskegel einer Menge S aus allen Richtungen nach Unendlich. Für
Polyeder gilt Folgendes:
(1.43) Satz. Sei P = P (A, b) = conv(V ) + cone(E) ein nichtleeres Polyeder, dann gilt
rec(P ) = P (A, 0) = cone(E). △
Beweis. (a) rec(P ) = P (A, 0).
Ist y ∈ rec(P ), so existiert ein x ∈ P mit x + λy ∈ P ∀λ ≥ 0. Daraus folgt b ≥
A(x + λy) = Ax + λAy. Gäbe es eine Komponente von Ay, die größer als Null ist, sagen
wir (Ay)i > 0, so wäre der Vektor x + λ0y mit
λ0 = bi − (Ax)i
(Ay)i
nicht in P (A, b), Widerspruch!
Ist y ∈ P (A, 0), so gilt für alle x ∈ P (A, b) und λ ≥ 0, A(x+λy) = Ax+λAy ≤ b+0 = b,
also ist y ∈ rec(P ).
(b) rec(P ) = cone(E).
Die Inklusion cone(E) ⊆ {y ∈ Kn | ∀x ∈ S, ∀λ ≥ 0 : x + λy ∈ S} ⊆ rec(P ) ist
offensichtlich. Umgekehrt sei y ∈ rec(P ), dann existiert wieder ein x ∈ P wie oben. Angenommen
y ∈ cone(E), dann gibt es nach dem Farkas-Lemma (ADM I Skript (11.2)(c))
ein u mit uT E ≤ 0 und uT y > 0. Für jedes z ∈ P folgt dann mit gewissen λi, 0 ≤ λi
≤ 1,
i λi = 1 und µi ≥ 0:
u T
T T
z = u λiV.i + u µiE.i =
i
i
λiu
i
T V.i + u T ⎛ ⎞
µ1
⎜ ⎟
E ⎝ . ⎠ ≤
µ |E|
λiu
i
T V.i
≤ max
i uT V.i
Andererseits gilt aber u T (x + λy) = u T x + λu T y → ∞, für λ → ∞, ein Widerspruch zu
x + λy ∈ P für alle λ ≥ 0. ✷
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