Version vom 06.06.2013 - ZIB

2 Matroide und Unabhängigkeitssysteme
m) repräsentierende Matrix A erhält man wie folgt: A hat m Zeilen und n Spalten.
Die i-te Zeile „repräsentiert“ das i-te Basiselement ei, 1 ≤ i ≤ m, die j-te Spalte das
j-te Element ej, 1 ≤ j ≤ n, von E; A hat die folgende Form (genannt Standardform
oder Standardrepräsentation):
A = (Im, B),
wobei Im die (m, m)-Einheitsmatrix ist. Die j-te Spalte von A, m + 1 ≤ j ≤ n, wird
wie folgt konstruiert. Fügt man das Element ej zur Basis T hinzu, so kann man
beweisen, dass genau ein Zirkuit entsteht, genannt das Fundamentalzirkuit zu ej.
Für das graphische Matroid des Beispielgraphen in Abbildung 2.1 ergibt sich so die
folgende Standardrepräsentation:
7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 0 0 0 0 0
2 1 0 0 1 1 1 0
3 1 0 1 0 1 0
4 0 1 1 1 1 0 0
5 1 1 1 0 0 0
8
3
5
2
4
9
Abbildung 2.1: Graph mit 10 Kanten
Es folgt nun eine Liste weiterer interessanter Matroide.
(2.9) Beispiel.
(a) Cographische Matroide
Gegeben sei ein Graph G = (V, E). Ein Cokreis ist eine Kantenmenge, deren Entfernung
aus G die Komponentenzahl erhöht und die (mengeninklusionsweise) minimal
bezüglich dieser Eigenschaft ist. Ein Schnitt ist eine Kantenmenge der Form
40
6
δ(W ) = {ij ∈ E | i ∈ W, j ∈ V \ W }, W ⊆ V.
1
10
△