Version vom 06.06.2013 - ZIB

2 Matroide und Unabhängigkeitssysteme
Das Fano-Matroid ist binär. Wählen wir die Basis T = {1, 2, 3}, so ergibt die in (2.8)(c)
beschriebene Konstruktion der Standardrepräsentation die folgende Matrix:
1
⎛
1 1
2
0
3
0
4
0
5
1
6
1
7
⎞
1
2 ⎝ 0 1 0 1 0 1 1 ⎠
3 0 0 1 1 1 0 1
die das Fano-Matroid F7 über GF (2) repräsentiert.
Wir wollen nun noch einen einfachen, aber interessanten Zusammenhang zwischen
Unabhängigkeitssystemen und Matroiden erwähnen.
(2.10) Satz. Jedes Unabhängigkeitssystem ist als Durchschnitt von Matroiden darstellbar,
d. h. ist I ein Unabhängigkeitssystem auf E, dann gibt es Matroide I1, . . . , Ik auf E
mit
k
I = Ii.
△
i=1
Beweis. Sei C das zu I gehörige Zirkuitsystem. Jedes Zirkuit C ∈ C definiert eine
Antikette {C} ⊆ 2E , die trivialerweise das Axiom (C.1) aus (2.7) erfüllt. Also ist das zu
dem Zirkuitsystem {C} gehörige Unabhängigkeitssystem IC ein Matroid. Wir behaupten
nun
I =
IC.
C∈C
Ist I ∈ I, so ist kein Zirkuit C ∈ C in I enthalten, folglich ist nach (2.2) I ∈ IC für alle
C ∈ C. Sei umgekehrt I ∈ IC für alle C ∈ C, so heißt dies, dass kein Zirkuit C ∈ C in I
enthalten ist, und somit, dass I ein Element von I ist. ✷
Die im Beweis von Satz (2.10) angegebene Konstruktion zur Darstellung eines Unabhängigkeitssystems
als Durchschnitt von Matroiden produziert i. A. eine riesige Zahl von
Matroiden, die das Gewünschte leisten. Häufig kommt man mit viel weniger Matroiden
aus.
Betrachten wir z. B. die Menge der Branchings I ⊆ 2 A in einem Digraphen D = (V, A).
Man kann einfach zeigen, dass das zugehörige Zirkuitsystem C aus den inklusionsminimalen
Mengen der Vereinigung der folgenden Antiketten C1 und C2 besteht:
C1 := {C ⊆ A | |C| = 2 und die Endknoten der beiden Bögen in C sind identisch},
C2 := {C ⊆ A | C ist ein Kreis (die Bogenrichtungen spielen keine Rolle)}.
C1 ist das Zirkuitsystem eines Partitionsmatroids auf A, dessen Unabhängigkeitssystem
gegeben ist durch {B ⊆ A | |B ∩ δ − (v)| ≤ 1 ∀v ∈ V }, und C2 ist das Zirkuitsystem des
graphischen Matroids auf D (hierbei wird D als Graph aufgefasst, d. h. die Bogenrichtungen
werden ignoriert). Daraus folgt, dass das Unabhängigkeitssystem der Branchings
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