Version vom 06.06.2013 - ZIB
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1.6 Rezessionskegel, Linienraum und Homogenisierung<br />
Beweis. Setzen wir P1 := { x<br />
1 ∈ Kn+1 | x ∈ P }, so gilt offensichtlich<br />
P1 = conv({ v<br />
1<br />
Aus Folgerung (1.20)(iii) ergibt sich dann:<br />
e<br />
| v ∈ V } + cone({ | e ∈ E}.<br />
P ◦ 1 = {z ∈ K n+1 | z T u ≤ 0 ∀u ∈ P1}<br />
= {z ∈ Kn+1 | zT v<br />
1 ≤ 0 ∀v ∈ V, zT e<br />
0 ≤ 0 ∀e ∈ E}<br />
<br />
V T 1<br />
= z |<br />
ET <br />
V T 1<br />
z ≤ 0 = P<br />
0<br />
ET <br />
, 0 .<br />
0<br />
Mit Folgerung (1.7) P (A, 0) ◦ = cone(A T ) erhalten wir nun<br />
hog(P ) = P ◦◦<br />
1 = P<br />
V T 1<br />
E T 0<br />
<br />
, 0<br />
0<br />
◦ <br />
V E<br />
= cone<br />
1T 0T <br />
.<br />
Die zweite Charakterisierung von hog(P ) folgt aus einer anderen Darstellung von P ◦ 1 .<br />
Es gilt nämlich mit Satz (1.18):<br />
P ◦ 1 = { y<br />
λ ∈ Kn+1 | yT y<br />
x + λ1 ≤ 0 ∀x ∈ P } = { λ ∈ Kn+1 | yT x ≤ −λ ∀x ∈ P }<br />
= { <br />
y<br />
λ ∈ Kn+1 y<br />
| −λ ∈ P γ y<br />
} = { λ ∈ Kn+1 y AT 0<br />
| −λ ∈ cone<br />
bT <br />
}<br />
1<br />
<br />
AT 0<br />
= cone<br />
−bT <br />
.<br />
−1<br />
Folgerung (1.10) impliziert nun<br />
hog(P ) = P ◦◦<br />
1 =<br />
<br />
cone<br />
<br />
AT 0<br />
−bT ◦ = P<br />
−1<br />
<br />
A −b<br />
, 0 .<br />
0 −1<br />
In Abbildung 1.4 sind ein Polyeder P ⊆ R 1 , die im obigen Beweis definierte Menge P1<br />
und hog(P ) dargestellt.<br />
(1.46) Bemerkung. Sei P ⊆ Kn ein Polyeder, dann gilt:<br />
(a) x ∈ P ⇐⇒ x<br />
1 ∈ hog(P ).<br />
(b) x ∈ rec(P ) ⇐⇒ x<br />
0 ∈ hog(P ). △<br />
Beweis. (a) ist trivial.<br />
(b)<br />
<br />
Sei P =<br />
<br />
P (A, b) eine Darstellung von P , dann gilt hog(P ) = P (B, 0) mit B =<br />
A −b<br />
. Folglich gilt nach (1.45) und (1.43)<br />
0 −1<br />
<br />
x<br />
∈ hog(P ) ⇐⇒<br />
0<br />
<br />
x<br />
∈ P (B, 0) ⇐⇒ Ax ≤ 0 ⇐⇒ x ∈ rec(P ).<br />
0<br />
✷<br />
✷<br />
23