Version vom 06.06.2013 - ZIB

2 Matroide und Unabhängigkeitssysteme
Die Menge aller Basen der Grundmenge E heißt Basissystem (bzgl. I) und wird mit B
bezeichnet.
Für jede Menge F ⊆ E heißt die ganze Zahl
r(F ) := max{|B| | B Basis von F }
Rang von F . Die Rangfunktion r ist also eine Funktion, die 2 E in die nicht-negativen
ganzen Zahlen abbildet.
Offenbar induziert jedes Unabhängigkeitssystem I auf E ein eindeutig bestimmtes Zirkuitsystem,
ein eindeutig bestimmtes Basissystem und eine eindeutig bestimmte Rangfunktion.
Es gilt auch die Umkehrung, wie wir nachfolgend (ohne Beweis) skizzieren.
Zirkuitsysteme und Basissysteme sind nach Definition Antiketten (Clutter), d. h. Systeme
von Mengen, so dass keine zwei Mengen ineinander enthalten sind.
Ist B = ∅ eine Antikette auf E, so ist
I := {I ⊆ E | ∃B ∈ B mit I ⊆ B}
ein Unabhängigkeitssystem auf E, und B ist das zu I gehörige Basissystem.
Ist C = {∅} eine Antikette auf E, so ist
I := {I ⊆ E | I enthält kein Element von C} (2.2)
ein Unabhängigkeitssystem, und C ist das zu I gehörige Zirkuitsystem.
Die oben definierte Rangfunktion hat folgende Eigenschaften. Sie ist subkardinal, d. h.
für alle F ⊆ E gilt
r(F ) ≤ |F |,
sie ist monoton, d. h. für alle F, G ⊆ E gilt
F ⊆ G =⇒ r(F ) ≤ r(G),
und sie ist stark subadditiv, d. h. für alle F ⊆ E, für alle ganzen Zahlen k ≥ 1, für alle
endlichen Indexmengen K ⊆ N und für alle Familien (Fi)i∈K von Teilmengen von F mit
der Eigenschaft, dass |{i ∈ K | e ∈ Fi}| = k für alle e ∈ F , gilt
k · r(F ) ≤
r(Fi).
Ist r : 2 E → Z+ eine subkardinale, monotone, stark subadditive Funktion, so ist
i∈K
I := {I ⊆ E | r(I) = |I|}
ein Unabhängigkeitssystem, dessen Rangfunktion die Funktion r ist.
Unabhängigkeitssysteme I auf einer Grundmenge E definieren also mathematische
Strukturen, die äquivalent durch Zirkuitsysteme, Basissysteme oder Rangfunktionen gegeben
werden können. Unabhängigkeitssysteme sind sehr allgemeine Objekte und besitzen
zu wenig Struktur, um tiefliegende Aussagen über sie machen zu können.
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